Des Fonctions homogènes

Une fonction de plusieurs variables x, y, z . . . est homogène, lorsque, t désignant une nouvelle variable indépendante des premières , le changement de x en tx , de y en ty, de z en tz . . . fait varier cette fonction dans le rapport de l’unité à une puissance déterminée de t ; et l’exposant de cette puissance est ce qu’on nomme le degré de la fonction homogène. En d’autres termes,

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables x, y, z . .. , si l’on a, quel que soit t ,

(1) f{tx, ty, tz ...) = t*f(x, y, z...).

Ainsi, par exemple,

x'+xy-hy' , 1 /(xy), ly—lx,

sont trois fonctions homogènes des variables x et y, la première du second degré , la deuxième du premier degré , et la troisième d’un degré nul. Une fonction entière des variables x, y, z ... composée de termes tellement choisis , que la somme des ex-

posan9 des diverses variables soit la même dans tous les termes, est évidemment homogène.

Si, dans la formule (i), on fait t on èn conclura

Cette dernière équation établit une propriété des fonctions homogènes qu’on peut énoncer de la manière suivante :

Lorsqu’une fonction de plusieurs variables x, y , z , . . . est homogène , elle équivaut, au produit de l'une quelconque des variables élevée a une certaine puissance par une fonction des rapports entre ces mêmes variables combinées deux à deux.

On peut ajouter que cette propriété appartient exclusivement aux fonctions homogènes. Et , en

effet , supposons /’( x, y , z ) équivalente au

produit de xa par une fonction des rapports entre

les variables x, y, z combinées deux à deux.

Comme on pourra exprimer tous ces rapports au moyen de ceux qui ont x pour dénominateur, en écrivant par exemple , au lieu de ~ ,

il en résulte que la valeur de f{x, y, z ...) sera donnée parune équation de la forme

COURS d’analyse.

Cette équation devra subsister, quelles que soient les valeurs de x, y, z ... ; et, si l’on y remplace

x par tx, y par ty , z par tz . . . ,

elle deviendra

f{tx, ty, tz ...) = t*.xa i

Par suite , on aura , quel que soit t , dans l’hypothèse admise,

f{tx, ty, tz ...) = t*f{x, y, z ...); ou , en d’autres termes ,

sera une fonction homogène du degré a par rapport aux variables x, y, z ....