CHAPITRE IV

Détermination des Fonctions entières , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Applications.

5. l.*' Recherche des Fonctions entières d’une seule variable , pour lesquelles on connaît un certain nombre de valeurs particulières.

Déterminer une fonction d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues , c’est ce qu’on appelle interpoler. Lorsqu’il s’agit d’une fonction d’une ou de deux variables , cette fonction peut être considérée comme l’ordonnée d’une courbe ou d’une surface ; et le problème de F interpolation consiste à fixer la valeur générale de cette ordonnée, d’après un certain nombre de valeurs particulières , c’est-à-dire, à faire passer la courbe ou la surface par un certain nombre de points. Cette question peut être résolue d’une infinité de manières ; et en général le problème de l’interpolation est indéterminé. Toutefois l’indétermination cessera, si à la connaissance des valeurs particulières de la fonction cherchée on ajoute la condition expresse que cette fonction soit entière , et d’un degré tel que le nombre de ses termes devienne précisément égal au nombre des valeurs particulières données.

8G cours d’analyse.

Supposons, pour fixer les idées, que l’on considère d’abord les fonctions entières d’une seule variable x. On établira facilement à leur égard les propositions suivantes.

1. " Théorème. Si une fonction entière de la variable x s’ évanouit pour une valeur particulière de cette variable, par exemple, pour x—xu, elle sera divisible algébriquement par x — xa.

2. * Théorème. Si une fonction entière de la variable x s'évanouit pour chacune des valeurs de x comprises dans la suite

■^oi »

n désignant un nombre entier quelconque , elle sera nécessairement divisible par le produit

(x-xf) (x .r, ) (x-xj . . . {x-xn t).

Soient maintenant <p(.r) et *\,{x) deux fonctions entières de la variable x , l’une et l’autre du degré n — i, et qui deviennent égales entre elles pour chacune des n valeurs particulières de x comprises dans la suite x0 , xt , xt . . . x . Je dis que ces deux fonctions seront identiquement égales , c’està-dire, qu’on aura, quel que soit x ,

et en effet, si cette égalité n’avait pas lieu , on trouverait dans la différence

un polynôme entier dont le degré ne surpasserait

pas n — i , mais qui , s’évanouissant pour chacune des valeurs de x ci-dessus mentionnées, serait pourtant divisible par ie produit

{x—x0){x—xt) (x—x>) . . : (x—x^),

c’est-à-dire, par un polynôme du degré n; ce qui est absurde. On serait assuré à fortiori de l’égalité absolue des deux fonctions et ^(.r), si l’on

savait quelles deviennent égales entre elles pour un nombre de valeurs de x supérieur à n. On peut donc énoncer le théorème suivant.

3. ' Théorème. Si deux fonctions entières de la variable x deviennent égales pour un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune des deux fonctions , elles seront identiquement égales , quel que soit x.

On en déduit comme corollaire cet autre théo-r rème :

4. * Théorème. Deux fondions entières de la variable x sont identiquement égales toutes les fois qn elles deviennent égalés pour des valeurs entières quelconques de cette variable, ou même pour toutes les valeurs entières qui suipassent une limite donnée.

Dans ce cas, en effet, le nombre .des valeurs do x , pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales, est indéfini.

Il suit du théorème 3 .* qu’une fonction entière u du degré n — 1 sera complètement déterminée , si l’on connaît ses valeurs particulières

cours d’analyse.

correspondantes aux valeurs

o > ^ • • • JT

de la variable a*. Cherchons dans cette hypothèse la valeur générale de la fonction u. Si l’on suppose d’abord que les valeurs particulières i/0, ut ... un se réduisent toutes à zéro, à l’exception de la première ua, la fonction?/, devant alors s’évanouir pour. r=x, , pour x=zxx, &c. .... enfin pour x=xa t , sera divisible par le produit

(x — xt)(x — xx) ...(x-x„,)t

et sera par conséquent de la forme

U=k{x-xt)(x-xx ) ...(x-x^),

le ne pouvant être qu’une quantité constante. De plus, n devant se réduire à ua pour x = xa , on er» conclura

7/„ = /c(x-xt ) (x0~xj . . . (x ),

et par suite

De meme, si les valeurs particulières ?/„, « , u ... Ur-T se réduisent toutes à zéro , à l’exception de la seconde u-x , on trouvera

U — u -Xgt/O (*-*■)••• (*-*■■-■) .

' (x.~ *o) (■*, — -rj ... (x,-!,.,) ‘