I."* PARTIE. Cil AP. IV
Enfui , si elles se réduisent toutes à zéro , à l’exception de la dernière u , on trouvera
En réunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypothèses qu’on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en x du degré n — i , qui aura évidemment la propriété de se réduire à ua pour x=xot à ut pour x—xt ,
&c à un t pour x—xni. Ce polynôme sera
donc la valeur générale de u qui résout la question proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée pàr la formule
° (x0 — xj") (x„ — Xz) (x„ — x„.)
-4- u (x — J0)rx — Jz) .'(x — x„,)
1 (x, — x0)(xl — x^).. ..(x, — x„,)
(x,,-^„)( i,-,-x,)...(x,-I-ïJ
On pourrait déduire directement la même formule de la méthode que nous avons employée ci-dessus (chap. III, §. i) pour résoudre dans un cas particulier des équations linéaires à plusieurs variables ; [voyez à ce sujet la note V ].
Si, en désignant par a une quantité constante, on remplace dans la formule ( i ) la fonction u par la fonction u — a, qui sera évidemment de même degré , et les valeurs particulières de u par les valeurs particulières de u — a, on obtiendra l’équation
u — a=(ua—a)
COURS d’analyse.
(x0— jt,)(j0— jr^).
et, en comparant cette équation à fa formule (i), on trouvera la suivante
J (x — x„)(x — J,)., .(x — xn,)
Cette dernière équation est identique , et subsiste quel que soit x.
Les équations (i) et (2) peuvent servir l’une et l’autre à résoudre, pour les fonctions entières, le problème de l’interpolation ; mais il convient en général de préférer pour cet objet l’équation (2), attendu qu’on peut y faire disparaître l’un des termes du second membre, en prenant la constante a équivalente à l’une des quantités
Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Désignons par xa , ya les coordonnées rectangulaires du premier point , par xt , yi celles du second , et
par y l’ordonnée variable de la droite. En remplaçant dans la formule (2) la lettre u par la lettre y , puis faisant n— 1 , et a~y0; on trouvera pour lequation de la droite
(4) y-y* = (yl-y.) -j^r-
Supposons, en second lieu, qu’il s’agisse de faire passer par trois points donnés une parabole dont l’axe soit parallèle à l’axe des y. Nommons
a, et yi , xi et yt , .r3 et y,
les coordonnées rectangulaires des trois points. Soit de plus y l’ordonnée variable de la parabole. En remplaçant toujours , dans la formule (2) , la lettre u par la lettre y , puis faisant n = 2 , et a— y , on trouvera pour l’équation de la parabole
(5) y-y. = (y.-yO{^$rEï j
-(y--y0ft=3£=Sj.
ou, ce qui revient au même,
Lorsque dans l’équation ( 1 ) on prend u = xm , ( m désignant un nombre entier inférieur à n ) , les valeurs particulières de u représentées par
ua
se réduisent évidemment à
02 cours d’analyse.
On a donc, pour les valeurs entières de m qui ne surpassent pas n — i ,
(7) xm = xm ~ — J-' )
* ( J— j0)(j— xa)....(x — J.-, )
(xi ■ro)('ri ïl)» » • <(^| xn— 1 )
n~* (,r a— 1 a*o)CJ:B— 1 X,). • *(x *— 1 J«-i)
Cette dernière formule comprend comme cas particulier l’équation (3). De plus, si l’on observe que chaque puissance de x, et en particulier la puissance xn~' , doit nécessairement avoir le même coeflicient dans les deux membres de la formule (7), on trouvera,
j.° En supposant m<n — 1 ,
(a0— jr.) (x„— *,) (x„— x„,)
