X . X . * X .... JT

O 1 ! > X * ft—t

on attribue en même temps à la variable y l’une des suivantes

Cp(.r0, y), 7j) seront deux fonctions de la seule variable y , qui deviendront égales entre elles pour n valeurs particulières de cette variable. Par suite, (en vertu du 3.® théorème, §. i.*r), ces deux fonctions seront constamment égales , quel que soit y. On aura donc identiquement

On trouvera de même

D’ailleurs, les premiers membres des n équations précédentes sont autant de valeurs particulières de la fonction y) dans le cas où l’on y considère x seul comme variable ; et les seconds membres représentent les valeurs particulières correspondantes de l'a fonction y ). Les deux fonctions

lorsqu’on y attribue à y une valeur constante choisie arbitrairement, deviennent donc égales pour n valeurs particulières de x; et, comme elles sont toutes deux du degré n — 1 par rapport .à x, il en résulte quelles resteront égales, non-seulement pour une valeur quelconque attribuée à la variable y , mais encore puur une valeur quelconque de x. On serait assuré, a fortiori, de légalité absolue des

deux fonctions y), y), si l’on savait

quelles deviennent égales toutes les fois que les valeurs des variables x et y sont respectivement prises dans deux suites composées chacune de plus de n termes différens. On peut donc énoncer la proposition suivante.

1 . " Théorème. Si deux fonctions entières des variables x et y deviennent égales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respectivement prises dans deux suites qui renferment l’une et l’autre un nombre de termes supérieur aux exposons les plus élevés de x et de y dans ces mêmes fonctions , elles seront identiquement égales.

On en déduit, comme corollaire, cet autre théorème :

2. ' Théorème. Deux fonctions entières des variables x et y sont identiquement égales , toutes les fois qu’elles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables , ou même pour toutes lés valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

Dans ce cas , en effet , le nombre des valeurs de x et de y pour lesquelles les deux fonctions deviennent égales est indéfini.

II suit du théorème i ." que , si la fonction <p(x ,y) est supposée entière et du degré n — i par rapport à chacune des variables x et y , cette fonction sera complètement déterminée , dès que l’on connaîtra les valeurs particulières quelle reçoit, lorsqu’en prenant pour valeur de x l’une des quantités

cours d’analyse.

07 I ’ X fi—t 7

on prend en même temps pour valeur de y Tune des suivantes

Dans la même hypothèse, la valeur générale de la fonction pourra être facilement déduite de la formule^) du paragraphe précédent.. En effet, si .l’on remplace dans cette formule u par < p(.r, y), on en tirera

’îk.y)

(*o— r.)(x0-of»)....(x0-J„,;

(j — Jc) (J— JT.) Q— T,./

et l’on aura de plus , en désignant par m un des nombres entiers

l™ m>yt (yo— i u)(.y„— y i). ..(y „—!!»,) ^ m> J°>

(y— y°)(y— yQ (y— ?/„,)

(y--yo)(y.-y>).--(y>-y,-,)

(y„-,-"ÿo)(y„-,-y,)-(y„-1-y,J vl^y»-. r

On conclura immédiatement des deux équations qui précèdent la valeur générale de <p (, x , y). On trouvera, par exemple, en supposant 77 = 2 ,

Xi — X„

xa

Si l'on considérait des fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, on obtiendrait des résultats entièrement semblables à ceux auxquels on vient de parvenir pour des fonctions de deux variables seulement. On trouverait, par exemple, à la place du 2 .e théorème , la proposition suivante :

3.e Théorème. Deux fonctions entières de plusieurs variables x , y , z sont identiquement

égales , toutes les fois quelles deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de ces variables, ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

§. 3.c Applications.

Pour appliquer les principes établis dans les paragraphcs précédens, considérons en particulier des produits formés par la multiplication de facteurs successifs dont chacun surpasse le suivant d’une unité, le premier facteur étant l’une des variables x, y, z ... ; et cherchons à exprimer, au moven de ces sortes de produits , le produit tout semblable TOM. 1. G

98 COUR» d'analyse.

qu’on obtiendrait en prenant pour premier facteur

la somme des variables données, savoir,

x -+- y -+- z -t- kc. . . .

Si Fon réduit toutes les variables à deux , le problème qu’il s’agit de résoudre pourra s’énoncer comme il suit. ,

l.er Problème. Exprimer le produit

(i) {x+y) {x-*-y — i) (x+y~2)...(x+y~n-hi) ,

dans lequel n désigne un nombre entier quelconque , par le moyen des produits suivons

et de tous ceux qu'on petit en déduire , en changeant seulement la valeur de n.

Solution. Pour résoudre plus facilement la question précédente , supposons d’abord que x et y soient des nombres entiers égaux ou supérieurs à n. Alors le produit (i) ne sera autre chose que le numérateur de la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possibles de x-t-y lettres prises n à n , puisque ce nombre est précisément

Cela posé, concevons que, les lettres a, b , c, ... p, q, r ...

étant en nombre égal à x-+-y, on les divise en deux

groupes , de teüe manière que les lettres a, b, c ... du premier groupe soient en nombre égal à x , et les lettres/», q, r ... du second groupe en nombre égal à y. Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres , les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera

D’autres renfermeront n — 1 lettres prises dans le premier groupe , et une lettre prise dans le second. On déterminera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espèce, et l’on verra qu’il est égal à

„ j(x-i) (i-i).„(i-ii + i) y

On trouvera de même pour le nombre des combinaisons qui renferment n — 2 lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second, *(*-') (* — »)... (x-w + 3) . y(y- Q .

&c. enfin, pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le dernier groupe,

La somme des nombres des combinaisons de chaque espèce devant reproduire le nombre total des combinaisons des x-*-y lettres données prises n à », on en conclura

COURS d’analyse.

■+■ *-(*~ ')•• .iSïulL &c.

L équation précédente, étant ainsi démontrée pour le cas où les variables x et y obtiennent des Valeurs entières supérieures à n , subsistera, en vertu du 2.° théorème [§. 2], pour des valeurs quelconques de ces variables ; et la valeur du produit ( 1 ) tirée de la même équation sera

ff Q

-+- üiü — il x(x— i)....(x — » + 3).y (y— 1) 4-&c...

, Corollaire i.,r Si dans l’équation (2) on remplace x par — x et y par — y , on obtiendra la suivante

(x-+-y) (x-t-y-t-i) (x + iM-n — i)

x (x+i) . . . (x+n— I ) ^ x (x+i). . .(x-hi— 2) y

Corollaire 2.* Si dans i’équation (2) on remplace x par — et y par — , on trouvera

( g 4- y ) (x + ÿ-i).,...(f + ÿ-in+i) 2,4.6....(2«)

x(x— 2)...(x— 2«-+-î) x(x— 2). ..(x— 2rt+4) y