CHAPITRE V

Détermination des Fonctions continues d’une seide variable propres a vérijier certaines conditions.

J. 1.*' Recherche d’une Fonction continue formée de telle manière que deux semblables Fonctions de quantités variables, étant ajoutées ou multipliées entre elles , donnent pour somme ou pour produit une Fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables.

Lorsque, au lieu de fonctions entières, on considère des fonctions quelconques, dont on laisse la forme entièrement arbitraire, on ne peut plus réussir à les déterminer d’après un certain nombre de valeurs particulières, quelque grand que soit ce même nombre ; mais on y parvient quelquefois dans le cas où l’on suppose connues certaines propriétés générales de ces fonctions. Par exemple , une fonction continue de x, représentée par cp (.r) , peut être complètement déterminée, lorsqu’elle est assujettie à vérifier , pour toutes les valeurs possibles des variables x et y , l’une des équations

ou bien , pour toutes les valeurs réelles et positives

104 cours d’analyse.

des mêmes variables, l’une des équations suivantes

(4) <P (-ry) = Ç (■*) X <p (y).

La résolution de ces quatre équations présente quatre problèmes différens que nous allons traiter l’un après l’autre.

1 ,er Problème. Déterminer la fonction f(x), de manière qu’ elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de Invariable x, et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

(1) Cp(x-t-y) = <p(*)-h<p(y).

Solution. Si dans l’équation (1) on remplace successivement y par y-+-z,z par z-¥-u , &c. . . . , on en tirera

Cp(.l'+ÿ + Z + K+ )

. = CJ> (jr)-f- Cp(y)-4-<p (s) &c....,

quel que soit le nombre des variables x, y, z, u , &c. : si , de plus , on désigne par m ce même nombre , par une constante positive , et que l’on fasse

x = y = z = u.... = cc,

la formule que l’on vient de trouver deviendra

Cp (»*<*,) = mCp(ct).

Pour étendre cette dernière équation au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre

fractionnaire ou même par un nombre quelconque fx, on fera, en premier lieu,.

m et n désignant deux nombres entiers ; et l’on en conclura

. n £ — m au ,

n . <J> (C) = m . <p (ec) ,

puis, en supposant que la fraction varie de manière à converger vers un nombre quelconque fx , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend ct=i , on aura, pour toutes les valeurs positives de fx ,

(5) <pW =

et par suite , en faisant converger fx vers la limite zéro ,

D’ailleurs, si dans l’équation (1) on pose x == fx , y — — fx , on en tirera

L équation (5) subsistera donc, lorsqu’on y chan-

106 COUR» d’analyse.

géra fx en — jx. En d’autres termes , on aura., pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x ,

II suit de la formule (6) que toute fonction (xj, qui , demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, vérifie l’équation (i), est nécessairement de la forme

,(7) <p(x) = ax,

a désignant une quantité constante. J’ajoute que la fonction ax jouira des propriétés énoncées , quelle que soit la valeur de la constante a. En effet, le produit ax est, entre des limites quelconques de la variable x, fonction continue de cette variable; et, de plus, la supposition <ÿ[x) — a x change l’équation (i) en cette autre

fl(Æ + y) — ax -+- a y ,

laquelle est évidemment toujours identique. La formule (7) fournit donc une solution de la question proposée , quelle que soit la valeur attribuée à la constante a. La faculté que l’on a de choisir arbitrairement cette constante , lui a fait donner le nom de constante arbitraire.

2.c Problème. Déterminer la fonction ?>(*), de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que ion ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

(2) Cî>(x) . <î>(y).

Solution. Il est d’abord facile de s’assurer que ta fonction <p (x), assujettie à vérifier l équation (2), n’admet que des valeurs positives : et en effet, si dans l’équation (2) on fait y—x, on trouvera

puis on en conclura , en écrivant \ x au lieu de x,

La fonction 9 (x) est donc toujours équivalente à un carré, par conséquent toujours positive. Cela posé, concevons que dans l’équation (2) on remplace

successiyement y par y -h z, z par z -h u, &c

on en tirera

9 {x+y+z+u ...) = q>(x) Cp(y) 9(5) 9(«)

quel que soit le nombre des variables x,y, z,u . . . Si, de plus, on désigne par m ce même nombre, par et une constante positive, et que l’on fasse

x — y — z = u = et ,

la formule que l’on vient de trouver deviendra

Pour étendre cette dernière formule au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre

fractionnaire ~ , ou même par un nombre quelconque ju. , on fera, en premier lieu,

COURS d’analyse.

fc = Ct y

ni et n désignant deux nombres entiers ; et Ton en conclura

nC = met ,

puis, en supposant que la fraction ~ varie de manière à converger vers un nombre quelconque jx , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend <t = i , on aura pour toutes, les valeurs positives de fx

et par suite, en faisant converger /x vers la limite zéro ,

D’ailleurs , si dans l’équation (2) 011 pose x — /x, y= — /x , on en conclura

JL équation (8) subsistera donc , lorsqu’on y changera fx en — fx. En d’autres termes, on aura pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable JC

(9) Cp(o?) = [<^(0']"-

11 suit de Iequation (9) que toute fonction cp (x) propre à résoudre le second problème est nécessairement de la forme

(10) q>(x) — Ax,

A désignant une constante positive. J’ajoute qu’on peut attribuer à cette constante une valeur quelconque entre les limites o et 00 . En effet , pour toute valeur positive de A , la fonction Ax reste continue depuis x=. — 00 jusqu’à x — -±- 00 , et l’équation

Ax+> = Ax . A>

est identique. La quantité A est donc une constante arbitraire qui n’admet que des valeurs positives.

Nota. Qn pourrait arriver très-simplement à l’équation (9), de la manière suivante.

Si l’on prend les logarithmes des deux membres 3e l’équation (2 ) dans un système quelconque, on trouvera

L<ÿ{x y) = L cp ( x) -h L<$ (y) :

et l’on en conclura [voyez le 1 .e‘ problème] Lq>(x) = x . Lcp(i) , puis, en repassant des logarithmes aux nombres , <pO) = [<p(i)]\ .

3.e Problème. Déterminer la fonction '<p(x) de manière quelle reste continue entre deux limites

positives quelconques de la variable x , et que t on ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y ,

Solution. II serait facile d’appliquer à la solution du 3 .* problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le premier ; mais on arrive plus promptement à la solution cherchée , en mettant l'équation (3), ainsi qu’on va le faire, sous une forme analogue à celle de réquation (1).

Si Ton désigne par A un nombre quelconque, et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A, on aura , pour toutes les valeurs positives des variables x et y ,

r = A X , y = AL\ en sorte que l’équation (3 ) deviendra

Comme , dans cette dernière formule , les quantités variables Lx , Ly admettent des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x et y,

<p(Ax+*) = <$(Ax)->-q(A').

On en conclura [voyez le 1 .er problème , équat. (6)] q>(Ax) = x<ç(A‘) as x< p(A)>

et par suite

< } [ALx) = Q{A).Lx , ou, ce qui revient au même,

* («O Q{x) = Q{A).Lx.

II suit de la formule (11), que toute fonction <}>(x), propre à résoudre le 3.* problème, est nécessairement de la forme

(12) <|> (x) = aL[x),

a désignant une constante. II est d’ailleurs aisé de s’assurer, 1 que la constante a demeure entièrement arbitraire, 2. 0 qu’en choisissant Convenablement lenombre A, qui est lui -même arbitraire, on peut la réduire à l’unité.

4.* Problème. Déterminer la fonction <p (x) de manière qui elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x , et que Y on ait, pour toutes les valeurs positives des variables X et y ,

Solution. Il serait facile d'appliquer à la solution du 4-e problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l’on observe qu’en désignant par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A , on peut mettre l’équation (4) sous la forme

112 COURS d’analyse.

Comme, dans cette dernière équation, les quantités variables L[x) , A (y), admettront des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables .r et y ,

<?> (Ax*J,)=<p[A*)-Q(AJf).

On en conclura [voy. le 2.e problème, équat. (p) j

et par suite,

ou , ce qui revient au même ,

Il résulte de l’équation (13) que toute fonction propre à résoudre le 4-e problème, est nécessairement de la forme

a désignant une constante. II est d’ailleurs aisé de s’assurer que cette constante doit demeurer entièrement arbitraire.

Les quatre valeurs de Cp ( .r) qui satisfont respectivement aux équations (1), (2), (3), (4), savoir,

ax , A* , a Lx , xa ,

ont cela de commun, que chacune d’elles renferme

une constante arbitraire a ou On doit en conclure qu'il y a une grande différence entre les questions où il s’agit de calculer les valeurs inconnues de certaines quantités, et les questions dans lesquelles On se propose de découvrir la nature inconnue de certaines fonctions d’après des propriétés données. En effet, dans le premier cas, les valeurs des quantités inconnues se trouvent finalement ex- , primées par le moyen d’autres quantités connues et déterminées , tandis que dans le second cas les fonctions inconnues peuvent , comme on le voit ici , admettre dans leur expression des constantes arbitraires.

J. 2.c Recherche d’une Fonction continue formée de telle manière qu’en multipliant deux semblables Fondions de quantités variables , et doublant le produit , on trouve un résultat égal à celui qu’on obtiendrait en ajoutant les Fonctions semblables de la somme et de la différence de ces variables.

Dans chacun des problèmes du paragraphe précédent , l’équation à résoudre renfermait , avec la fonction inconnue <p (.r), deux autres fonctions semblables, savoir, <î>(y) et ou Nous

allons maintenant nous proposer un nouveau problème du même genre , mais dans lequel l'équation de condition, que la fonction doit vérifier, renferme quatre fonètions semblables au lieu de trois. Voici en quoi il consiste.