X = O , X — CL
Cela posé , il arrivera de deux choses l’une. Ou la valeur positive de Cp (ce) sera comprise entre les limites o et 1 , ou çette valeur sera supérieure à l’unité. Nous allons examiner successivement ces deux hypothèses.
Concevons d’abord que Cp(ct) ait une valeur comprise entre les limites o et 1 . On pourra représenter cette valeur par le cosinus d’un certain arc 0 relifermé entre les limites o , ; et poser en conséquence
<J> (et) = cos. 0.
De plus , si , dans lequation ( i ) mise sous ïa forme
on fait successivement
X — Ct ,
x = et ,
x — et ,
on en déduira i’une après l’autre les formules
(2 et) = 2 cos.* ô — I = cos. 2 0 ,
C}> (3 et) = 2 cos. 0 . cos. 2 0 — cos. 0 = cos. 3 0 ,
(4 <*-) = 2 cos. 0 . cos. 3 0 — cos. 2 0 = COS. 4 0 >
et en général , m désignant un nombre entier quelconque ,
<p(wîet) = 2 cos . 0 . cos.(m — 1)0 — cos.(m — 2)0=cos.»j0. '
J’ajoute que la formule
<p (met) = cos. m 0
subsistera encore , si l’on y remplace le nombre entier m par une fraction , ou même par un nombre quelconque /x. C’est ce que l’on prouvera facilement, ainsi qu’il suit.
Si dans l’équation (1) on fait x = ^ct, yzzi^a., on en tirera
116 cours d’analyse.
1+cos. 9 r IÛT*.
dKt*)] = — i — = — i — =Lcos-iej ;
puis , en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que les deux fonctions <p (jr), cos. .z* restent positives, la première entre les limites ■r = o, a:— et, la seconde entre les limites .r — o, ev=9, on trouvera
Cf) ( y ot. ) = cos. -7 6.
De même , si dans 1 équation ( 1 ) on lait * = T*. !/ = >
on en tirera
11 7 <*>) 1 *+■ cos. -(
puis , eu extrayant de part et d’autre les racines positives ,
(ï«0 = cos.^0.
Par des raisonnemens semblables, on obtiendra successivement les formules
<P (ï* ) = cos-i^ »
«Kt?*) — C0S-TTÔ »
et en général , n désignant un nombre entier quel conque ,
<P {~r *) — cos- 6-
Si l’on opère sur la valeur précédente de f~-n- et)
pour en déduire celle de O ^-^-ec^ , comme on a
opéré sur la valeur de Cp (et) pour en déduire celle de <p(;«et), on trouvera
puis, en supposant que la fraction ~ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre \a , et passant aux limites, on obtiendra l’équation
(2) <p ( JA et ) = cos. fA ô. ,
De plus, si dans la formule (1) on fait x — fx et , y — O , on en conclura
<p(— ^tet)=[2<p(o)— I ]cp(^tet)=:cos.^tô=cos.(— ttxÔ). -,
L équation (2) subsistera donc, lorsqu’on y remplacera fA par — fA. En d’autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x ,
(3) <p ( et er ) = cos. ô X.
Si dans cette dernière formule on change x en — , elle donnera
(4) <p (x) = COS “ x — cos. ^ X .r^ .
La valeur précédente de <p(.r) est relative au cas où la quantité positive Cp(ct) reste comprise entre les
118 cours d’analyse.
limites o et i . Supposons maintenant cette même quantité supérieure à l’unité. Il est facile devoir que, dans cette seconde hypothèse , on pourra satisfaire par une valeur positive de »• à lequation
II suffira, en effet, de prendre
Cela posé , si dans l 'équation ( 1 ) on fait successivement
X — ot ,
y == at,
x — au ,
y = 2cl
X — et ,
on en déduira l’une après l’autre les formules
= T (r'+-pr)'
et en général , m désignant un nombre entier quelconque, .
J’ajoute que la formule
<p [met) =^-’(r’"-h--^r)
subsistera encore, si l’on y remplace le nombie entier vi par une fraction , ou même par un nombre quelconque f/,. C’est ce que l’on prouvera facilement, ainsi qu’il suit.
Si dans l’équation (l) on fait x = - et, y — 7^» on en tirera
= -L(ri+r-i) ;
puis , en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que la fonction <}>(■*) reste positive entre les limites x—o, x-a-, on trouvera
De même , si dans l’équation ( t ) on fait
x — ^cl, y — \a' '
on en tirera
rtr,,,. »(•)**(!•)> +AȱLÏ1 .
120 COURS d’analyse.
puis , en extrayant de part et d’autre ies racines positives ,
«Kî*) =i(?'î + r ï).
Par des raisonneraens semblables , on obtiendra successivement les formules
et en général , n désignant un nombre entier quelconque ,
Si l’on opère sur la valeur précédente de auj ,
pour en déduire celle de <J> ( et) , comme on a
opéré sur la valeur de <p (ce) , pour en déduire celle <p (mat), on trouvera
puis, en supposant que la fraction ~ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre fjt, et passant aux limites, on obtiendra l’équation
(5) <?>(/**) = 7 (r*-Hr~*)-
De plus , si dans la formule ( i ) on fait
x — fx<x , y = o , on en conclura
<? ( - /* *) = [2 CP (°) - 1 ] <? (m- et) = T (r ~ r ' ) •
L’équation (5) subsistera donc, lorsqu’on y remplacera fx. par — fx. En d’autres termes, on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x ,
(6) Cp(ctar) = ^/,T-+-r
Si dans cette dernière formule on change x en ~ , elle donnera
Lorsqu’on fait, dans l’équation (4) , dfc — a, et,
dans l’équation (7) , r * = A , ces équations prennent respectivement les formes suivantes
(8) <|>(.r) = cos.ax ,
(9) Q{x) = {(Ax + A~*).
Si donc l’on désigne par a une quantité constante , et par A un nombre constant, toute fonction <p(.zr) qui , demeurant continue entre des limites quelconques de la variable , vérifiera l’équation ( 1 ) , sert nécessairement comprise sous l’une des deux forme
122 cours d’analyse.
qu’on vient de rapporter. II est d’ailleurs facile dé s’assurer que les valeurs de <|>(.r) fournies par les équations (8) et (9) résolvent la question proposée , quelles que soient les valeurs attribuées à la quantité a et au nombre A. Ce nombre et cette quantité sont donc deux constantes arbitraires , dont l’une ne peut admettre que des valeurs positives.
D’après ce qu’on vient de dire, les deux fonctions
cos. a.t, Ÿ (Ax •+■ A~x) ,
ont la propriété commune de satisfaire à féquation (1), ce qui établit entre elles une analogie remarquable. L’une et l’autre de ces deux fonctions se réduisent encore à l’unité pour x=o. Mais une différence essentielle entre la première et la seconde , c’est que la valeur numérique de la première est constamment au-dessous de la limite 1 , lorsqu’elle n’atteint pas cette limite; tandis que, dans la même hypothèse , la valeur numérique de la seconde est constamment au-dessus.
