X H- X* -+- . . . -H Xn

et, comme pour des valeurs croissantes de n la valeur numérique de la fraction converge vers

la limite zéro , ou croit au - delà de toute limite , suivant qu’on suppose la valeur numérique de x inférieure ou supérieure à l’unité , on doit conclure que dans la première hypothèse la progression

est une série convergente qui a pour somme - ,

tandis que dans la seconde hypothèse la même progression est une série divergente qui n’a plus de somme.

D’après les principes ci-dessus établis , pour que la série

(i) Wo, U[ , U , ... U n f Uj+i , &c. ...

soit convergente , il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme

S„ U0 -+• U, -+- ux -+- &c -+-

vers une limite fixe s : en d’autres termes, il est nécessaire et il suffit que, pour des valeurs infiniment grandes du nombre n, les sommes

diffèrent de la limiter, et par conséquent entre elles, de quantités infiniment petites. D’ailleurs, les différences successives entre la première somme s„ et chacune des suivantes sont respectivement déterminées par les équations

Sn+x — S„ = U„ -+- U„^ ,

Donc, pour que la série (i) soit convergente, il est d’abord nécessaire que le terme général u„ décroisse indéfiniment , tandis que n augmente ; mais cette condition ne suffit pas , et il faut encore que , pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes

Un Un+i >

c’est-à-dire , les sommes des quantités

^ rt > i-t-i > t &C. . . . '

126 cours d’analyse.

prises , à partir Je la première , en tel nombre que l’on voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. Réciproquement , lorsque ces diverses conditions sont remplies , la convergence de la série est assurée.

Prenons pour exemple la progression géométrique

Si la valeur numérique de x est supérieure à l’unité , celle du terme général x" croîtra indéfiniment avec n, et cette seule remarque suffira pour constater la divergence de la série. La série sera encore divergente , si l’on suppose x — ± 1 , parce qu’alors la valeur numérique du terme général x ", se réduisant à l’unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n. Mais, si la valeur numérique de x est supérieure à l’unité, les sommes des termes de la série pris à partir de xn en tel nombre que l’on voudra, savoir,

, x” -h Xn*' = X ” --~.f

x " -+- x”*1 -+- Xn*x — xn — j3 .

se trouvant toutes comprises entre les limites

chacune d’elles deviendra infiniment petite pour des

valeurs de n infiniment grandes ; et par suite la série sera convergente , ce que l’on savait déjà.

Prenons pour second exemple la série numérique

Le terme général de cette série, savoir, --A- décroît indéfiniment à mesure que n augmente , et cependant la série n’est pas convergente ; car la somme

faite du terme ■ n - et de ceux qui le suivent jus»

qu’au terme inclusivement, savoir,

ii ii

reste constamment supérieure, quel que soit n, au produit

et par suite , cette somme ne décroît pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n , ainsi que cela aurait lieu si la série était convergente. Ajoutons que , si l’on désigne par sn la somme des n premiers termes de la série (3) , et par 2” la plus haute puissance de 2 renfermée dans n + 1 , on trouvera

■Kl (2

et à fortiori

cours d’analyse.

On en conclura que la somme#, croît indéfiniment avec le nombre entier m, et par conséquent avec n, ce qui est une nouvelle preuve de la divergence de la série.

Considérons encore la série numérique ,

Les termes de cette série qui occupent un rang su périeur à n, savoir,

’ i . i . j ...n(n-H) ’ i .a.j...n(n+i)(îi+z) ’ " ’

seront respectivement inférieurs aux ternies correspondans de la progression géométrique

Par suite , la somme des premiers ternies pris en tel nombre que l’on voudra sera toujours inférieure à la somme des termes correspondans de la progression géométrique, qui est une série convergente, et à plus forte raison , à la somme de cette progression, c’est-à-dire, à

Il II

Comme cette dernière somme décroît indéfiniment à mesure que n augmente, il en résulte que la série (4) est elle -même convergente. On est convenu

de désigner par la lettre e la somme de cette série. En ajoutant les n premiers termes , on obtiendra pour valeur approchée du nombre e

et, d’après ce qu’on vient de dire, l’erreur commise sera inférieure au produit du n.mt terme par ■ .

Ainsi , par exemple , si l’on suppose n = 1 1 , on trouvera pour la valeur approchée de e

et l’erreur commise dans cette hypothèse sera inférieure au produit de la fraction — - ~ — 5

par c’est-à-dire, à en sorte qu’elle

n’altérera pas la 7.* décimale.

Le nombre e , déterminé comme on vient de le dire , sera souvent employé dans la sommation des suites et dans le calcul infinitésimal. Les logarithmes pris dans le système qui a ce nombre pour base s’appellent Népériens , du nom de Néper, inventeur des logarithmes, ou hyperboliques, parce qu’ils servent à mesurer les div erses parties de l’aire comprise entre l’hyperbole équilatère et ses asymptotes.

On indique généralement la somme d’une série convergente par la somme de ses premiers termes suivie d’un &c. . . . Ainsi , lorsque la série

m0, ut , U1 , u}