TOM. 1. I

130 cours d’analyse.

est convergente , la somme de cette série est représentée par

n0 +a, + ul ■+■ u} &c

En vertu de cette convention , la valeur du nombre e se trouvera déterminée par F équation

ët , si l’on considère la progression géométrique

on aura , pour des valeurs numériques de x inférieures à l’unité ,

i or-+-.r*-+-jr3-4-&c = — '■ — - .

La série

étant supposée convergente, si l’on désigne sa sommé par s, et par s„ la somme de ses n premiers termes, On trouvera

S — tia-+- ut •+- ux -+- . . . -+- -+- un -+- -+- &c. . . .

z=Sn-+-Un-+-Un^ -H &C

et par suite

* — sa ='*'«-*- a,+I &c. .. .

De cette dernière équation il résulte que les quantités

> Un + \ > ^n+i » &C. * • • »

formeront une nouvelle série convergente dont la somme sera équivalente à .? — s„. Si l’on représente cette même somme par r„ , on aura

* = sm -h r„ -,

et rn sera ce qu’on appelle le reste de la série (i) à partir du n.m* terme.

Lorsque, les termes de la série ( i) renfermant une même variable x , cette série est convergente , et ses différens termes fonctions continues de x , dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à cette variable ;

r„ et *

sont encore trois fonctions de la variable x, dont la première est évidemment continue par rapport kx dans le voisinage de la valeur particulière dont il s’agit. Cela posé , considérons les accroissement que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu’on fait croître x d’tine quantité infiniment petite et. L’accroissement de s„ sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite; et celui de rn deviendra insensible en même temps que r„, si l’on attribue à n une valeur très-considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction s ue pourra être qu’une quantité infiniment petite. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante.

T .‘r Théorème. Lorsque les différais termes de la série ( i ) sont des fonctions d’une même variable x ,

132 cours d’analyse.

continues par rapport a cette variable dans le voisinage d une valeur particulière pour laquelle la série est convergente , la somme s de la série est aussi , dans le voisinage de cette valeur particulière , fonction continue de x.

En vertu de ce théorème, ia somme de ia série (2) devra rester fonction continue de ia variable x, entre les limites x=. — 1 , 1 ; ce qu’on peut vérifier à

l’inspection de la valeur de s donnée par l’équation

S. 2/ Des Séries dont tous les termes sont positifs. Lorsque ia série

(1) ua , u„ ux un, &c

a tous scs termes positifs , on peut ordinairement décider si elle est convergente ou divergente , à l’aide du théorème suivant.

l.er Théorème. Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge , tandis que n croit indé-

jiniment , l’ expression (iin) ■ ; et désignez par k la plus grande de ces limites , ou , en d’autres termes , la limite des plus grandes valeurs de l expression dont il s’agit. La série ( 1 ) sera convergente , si l’on a k < 1 , et divergente , si l’on a k > 1 .

Démonstration. Supposons d’abord k < 1 , et choisissons à voionté entre ies deux nombres 1 et k un troisième nombre U, en sorte qu’on ait

n venant à eroitre au-delà de toute limite assignable,

les plus- grandes valeurs de («„)” ne pourront sapprocher indéfiniment de la limite k , sans finir par être constamment inférieures à U . Par suite , il sera possible d’attribuer au nombre entier n une valeur assez considérable, pour que, n obtenant cette même valeur ou une valeur plus grande encore , on ait constamment

{u„y<u, un<u\

II en résulte que les termes de la série

w, , Ux • . . Un+I , j &c. . . .

finiront par être toujours inférieurs aux termes correspondans de la progression géométrique

i, U, U\ ... U% Un*\ Un*\ &c. . . ;

et , comme cette progression est convergente ( à cause de U< i ) , on peut de la remarque précédente conclure à fortiori la convergence de la série (i).

Supposons , en second lieu , k > i ; et plaçons encore entre les deux nombres i et k un troisième nombre U , en sorte qu’on ait

Si n vient à croître au-delà de toute limite , les plus

grandes valeurs de (a,)", en s’approchant indéfiniment de k , finiront par devenir supérieures à U

134 cours d’analyse.

Oïi pourra donc satisfaire à fa condition

ou , ce qui revient au même, à la suivante «„ > Un ,

par des valeurs de n aussi considérables que l’on voudra; et par suite, on trouvera dans la série

V o * I 1 ' • • ; M'rt+l 1 ^,1+1 * &-C. . . .

un nombre indéfini de termes supérieurs aux termes correspondans de la progression géométrique

Comme cette progression est divergente (à cause de U > i ) , et qu’en conséquence ses différens termes croissent à l’infini, la remarque que l’on vient de faire suffira pour établir la divergence de la série ( i ).

Dans un grand nombre de circonstances, on peut déterminer la valeur de la quantité k , à l’aide du théorème 4-* [chap. II, §. 3.c]. En effet, en vertu

de ce théorème , toutes les fois que le rapport ■~lL

convergera vers une limite fixe , cette limite sera précisément la valeur de k. On peut donc énoncer la proposition suivante.

2.* Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport

Un

converge vers une limite jixe k , la série ( i ) sera

convergente toutes les fois que l’on aura k < i , et divergente toutes les fois que l’on aura k > i .

Concevons, par exemple, que l’on considère la série

on trouvera