n (n-t- 1 ) n-H 1 ? OO

et par conséquent la série sera convergente, ce que l’on savait déjà.

Le premier des deux théorèmes qu’on vient d’établir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série dont tous les termes sont positifs , que dans le cas particulier où la quantité représentée par h devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier, il n’est pas toujours facile de décider la question. Toutefois, nous allons démontrer ici deux nouvelles propositions à l’aide desquelles on peut souvent y parvenir.

* 3e. Théorème. Lorsque dans la série ( 1 ) chaque

terme est inférieur a celui qui le précède , cette série et la suivante

• (2) Mo, 2 U, 4u}, 8 u7 , 1,6 «J, &c...

sont en même temps convergentes ou divergentes.

Démonstration. Supposons d’abord la série (i) convergente, et désignons sa somme par s. On aura

4«3 < 2M, + 2Ui ,

8«7< 2 -H 2 ttj -+- 2 -+- 2 ll7 y

et par suite, la somme des termes de la série (2), pris en tei nombre que Fon voudra , sera inférieure à

U en résulte que la série (2) sera convergente.

Supposons , en second lieu , la série ( 1 ) divergente. La somme de ses termes pris en très-grand nombre finira par surpasser toute limite assignable ; et , comme on aura

4 tt3 > tt3 -I- -I- U( ,

8a7>«7+«!+M)+t<„ + tt„ + K,1 + K,3+B11 , &c. ...»

on devra conclure que la somme des quantités

«, , a ut, 4u} , 8m7, &c

prises en très-grand nombre finit elle-même par devenir supérieure à toute quantité donnée. La série ( 2 ) sera donc alors divergente , conformément au théorème énoncé.

Corollaire. Si pour la série ( i ) on prend la suivante

u. désignant une quantité quelconque , la série ( 2 ) deviendra

Cette dernière est une progression géométrique , convergente lorsqu’on suppose (a > 1 , et divergente dans le cas contraire. Par suite , la série ( 3 ) sera elle-même convergente, si ja est un nombre supérieur à l’unité ; et divergente , si l’on a fA = 1 ou (a < 1 . Par exemple , des trois séries

la première sera convergente, et les deux autres divergentes.

. 4/ Théorème. Supposons que l’on désigne par L la caractéristique des logarithmes dans un système quelcompie , et que, pour des valeurs croissantes de n, le rapport

L38 cours d’analyse.

. converge vers une limite finie k. La série (i) sera convergente , si l on a k> i , et divergente , si l’on a h < i .

Démonstration. Supposons d’abord h> i , et choisissons à volonté entre les deux quantités i et h une troisième quantité à } en sorte qu’on ait

Le rapport — -y"nl - , ou son é

finira par être, pour de très-grandes valeurs de n, constamment supérieur à la quantité a. En d’autres termes, n venant à croître au-delà d’une certaine limite , on aura toujours

J f ^ Cl y

ou , ce qui revient au même ,

L(-g)>aL{n)

et par suite,

Il en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment inférieurs aux termes corres-

pond uns de la suivante

1 ’ ie ’ 3“ ’ 4J n“ ’ ^n-t-i)" ’ • ••• î

et, comme cette dernière sera convergente (à cause de a > ï ) , on pourra de la remarque précédente conclure a fortiori la convergence de la série (ï).

Supposons, en second lieu , h< ï ; et plaçons encore entre les quantités ï et h une troisième quantité a, en sorte qu’on ait

On finira par avoir constamment , pour de trcsgrandes valeurs de n ,

ou , ce qui revient au même ,

1 L(ir)<aL(n )’

et par suite

— — < na ,

II en résulte que les termes de la série (i) finiront par être constamment supérieurs aux termes correspondans de la suivante

et, comme cette dernière sera divergente (à cause

de a< i), on pourra de la remarque qu’on vient de faire conclure à fortiori fa divergence de fa série (i).

Etant données deux séries convergentes dont tous les termes sont positifs , on peut , en ajoutant ou multipliant ces mêmes termes , former une nouvelle sérieront fa somme résulte de l’addition ou de là multiplication des sommes des deux premières. Nous établirons à ce sujet les deux théorèmes suivans :