e Théorème. Les mêmes choses étant posées

que dans le théorème précédent, »

( U„V n-i- UtV -+- ... + «,.I»1+«,t|ol «c...

.sera une nouvelle série convergente , qui aura pour somme ss .

Démonstration. Soient toujours sn, s'n les sommes des n premiers termes des deux séries (7) , et désignons en outre par s" „ la somme des n premiers termes de la série (5). Si l’on représente par

m le plus grand nombre entier compris dans ,

c’est-à-dire, ” ~ lorsque n est impair, et dans le cas contraire , on aura évidemment

«t, > (u0-*-u, (»„+#,+ -ha*)»

ou , en d’autres termes ,

s"n < Sn s'n

^ sm+t s m+t .

Concevons maintenant que l’on fasse croître n audelà de toute limite. Le nombre

croîtra lui-méme indéfiniment ; et les deux sommes s„, convergeront vers la limite s, tandis que

142 cours d’analyse.

et s'm+, convergeront vers ia limite s'. Par suite, les deux produits s„ s'„ , sm+, s' , et la somme s" „ comprise entre ces deux produits, convergeront vers la limite ss : ce qui suffit pour établir le théorèm« 6."

5. 3.c Des Séries qui renferment des termes positifs et des termes négatifs.

Supposons, que la série

(1) ua , a,, u u„, &c

se compose de termes , tantôt positifs , tantôt négatifs : et soient respectivement

les valeurs numériques de ces mêmes termes, en sorte qu’on ait

«o=±fo> Ul = ±f,, U,=±ftJ &C.~

La valeur numérique de la somme

U„ -H .U, H- Ux . . . -+-

ne pouvant jamais surpasser

fo ■+■ fl ■+* fx -+- • • • • *+* fn-t »

il en résulte que la convergence de la série (2) entraînera toujours celle de ia série ( 1 ). On doit ajouter que la série ( 1 ) sera divergente , si quelques termes de la série (2) finissent par croître au-delà de toute

limite assignable. Ce dernier cas se présente lorsque

les plus grandes valeurs de fn) " convergent, pour - des valeurs croissantes de n, vers une limite supérieure à l’unité. Au contrairp , lorsque cette limite devient inférieure à l’unité, la série (2) est toujours convergente. On peut, en conséquence, énoncer le théorème suivant:

1. " THÉORÈME. Soit f„ la valeur numérique du ternie général vn de la série ( 1 ) ; et désignons par k la limite vers laquelle convergent , tandis que n croit indéfiniment , les plus grandes valeurs de

V expression (/„)"• La série [f) sera convergente , si l'on a k < 1 , et divergente , si l’on a k > 1 .

Lorsque la fraction 'p " , c’est-à-dire, la valeur

numérique du rapport , convergera vers une

limite fixe, cette limite sera, en vertu du 4-° théorème fehan. ü,§. 3.*], la Valeur cherchée de k. Cette remarque conduit à la proposition que je vais écrire.

2. ' THÉORÈME. Si, pour des valeurs croissarttes de n , la valeur nutnérique du rapport

converge vers une limite jixe k, la série (1) sera convergente , toutes les fois que l’on aura k < 1 , et divergente , toutes les fois que l’on aura k> 1 .

Par exemple , si l’on considère la série

on trouvera

uH n -+- i* ’ OC 7

d’où il résulte que la série sera convergente.

Le, premier des deux théorèmes qu’on vient d’établir ue laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série que dans le cas particulier où la quantité représentée par k devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la série proposée, soit en s’assurant que les valeurs numériques de ses différens termes forment une série convergente, soit en ayant égard' au théorème suivant.

3.* Théorème. Si dans la série [ i) la valeur numérique du terme général uH décroît constamment et indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n, si de plus les différens termes sont alternativement positifs et négatifs , la série sera convergente.

Considérons, par exe/hple, la série