uava y U'V'-i-u, v,-hV,V
( ... u.V'-Ht, Vi-ï&nV,', &c...
sera une nouvelle série convergente , qui aura pour
somme ss .
Démonstration. Soient toujours s„, s n les sommes des n premiers termes des deux séries (y) , et désignons en outre par s"„ la somme des n premiers termes de la série (9). On trouvera
S'n ~ V„, -H ( Un V„% -+- U„> V„) -4- ...
(un, v, -4- u„t e,-+- ... -+- V„t -H U,
De plus, le théorème 6.e ayant été démontré dans le second paragraphe pour le cas où les séries (~) ne renferment que des termes positifs, il en résulte que dans cette hypothèse chacune des quantités sns'„, s" „ converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite s s', et, par suite, la dilFérence s„s „ — s" ou , ce qui revient au même , la somme
-i («„-■ vn x -4- v„, j -t-
vers la limite zéro.
Concevons maintenant que , les termes des séries (y) étant les uns positifs et les autres négatifs , on désigne respectivement par
• ' • f rt> • •
les valeurs numériques de ces différens termes. Supposons de plus , conformément à l’énoncé du théorème, que les séries (io), composées de ces .mêmes
i.“ partie’ CH AP. VI. 140
valeurs numériques , soient toutes deux convergentes. En vertu de fa remarque qu’on vient de faire, la somme
ftt-tf o-t «-* f n-i) *+*•*.• •••'•
•••"*■ ( fn-'/i ■+• ••• H"/»/ »-»
convergera, pour des valeurs croissantes de ri, vers la limite zéro : et, comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celle de
la suivante
tv, -1- (m„, V„x -4- U„x V„t) -4-
-t- ( U„ V,-k-U„x Vx-+- . ... -4- K, Vn x-\-Ul VH) ,
il en résulte que cette dernière , ou , ce qui revient au même, la différence s„s'n — s" „ convergera elleméme vers la limite zéro. Par suite , s s' , qui est la limite du produit s„s'„, sera encore celle de &*„■ Eh d’autres termes , la série (9) sera convergente , et aura pour somme le produit s s\
Scholie. Le théorème précédent pourrait ne plus subsister , si les séries (7) , supposées convergentes, cessaient de l’être après la réduction de chaque terme à sa valeur numérique. Concevons, par exemple , que pour chacune des séries (j) on prenne la suivante
La série (9) deviendra
Cette dernière est divergente. Car son terme général , savoir ,
Vt»— *A
a une valeur numérique évidemment supérieure à
lorsque n est pair, et à
lorsque n est impair; c’est-à-dire, dans tous les cas possibles, une valeur numérique supérieure à l’unité. Cependant la série (i i) est convergente. Mais on doit observer quelle cesse de Ietre , lorsqu’on réduit chaque terme à sa valeur numérique , puisqu'elle se change alors en la série (6) du §.2.*
§, 4.* Des Séries ordonnées suivant les Puissances ascendantes et entières d’une variable.
Soit
(i) a0, a,x , a.x' , . . . an x* , &c. . .
une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable x ,
) O® » O, , (l, ) ..«. dn t &c. . . .
désignant des coefïicicus constans positifs ou négatifs. Soit de plus A ce que devient pour la série (2) la quantité k du paragraphe précédent [voy. le §. 3 , 2.* théorème]. La même quantité, calculée pour la •série ( 1.) , sera équivalente à la valeur numérique du produit
Ax.
Par suite , la série ( 1 ) sera convergente , si cette valeur numérique est inférieure à l’unité , c’est-à-dire, en d’autres termes, si la valeur numérique de la variable x est inférieure à -j- . Au contraire , la série ( 1 ) sera divergente,, si la valeur numérique de x surpasse . On peut donc énoncer la proposition suivante.
l.er Théorème. Soit a la limite vers laquelle converge , pour des valeurs croissantes de n , la racine n.me des plus grandes valeurs tiumériques de . La série (1) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites
et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.
Lorsque la valeur numérique du rapport -"j
converge vers une limite fixe , cette (imite est [en vertu du 4-c théorème , chapitre II , §. 3 ] la valeur cherchée de A. Cette remarque conduit à une nouvelle proposition que je vais écrire.
2.* Théorème. Si , pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport
converge vers la limite A, la série (1) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites
et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites. .
Corollaire i.'r Prenons pour exemple la série (3) 1, 7.x, 3-r*, 4x\ ... &c..*
Comme on trouvera dans cette hypothèse
— !XL— — = I -t ,
an n -+- 1 »+i
et par suite,
on en conclura que la série (3) est convergente pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites <
et divergente pour les valeurs de x situées hors de
ces limites.
Corollaire 2 .* Prenons pour second exemple la série
xn
dans laquelle le terme constant est censé réduit à zéro. On trouvera dans cette hypothèse '
et par suite A — 1 . La série (4) sera donc encore convergente ou divergente , suivant que la valeur numérique de x sera inférieure ou supérieure à l’unité.
Corollaire 3.' Si pour la série (1) on prend la suivante ,
( ,, JLX)
