OC

, V I a 2 a 3 , . a . a fl '

fx désignant une quantité quelconque , on trouvera

, fx — n

fil

et par suite ,

A — lim; —

On en conclura que fa série (5) est, comme les séries (3) et (4), convergente ou divergente, suivant

154 'cour§. d’analyse.

que l’on attribue à ia variable x une valeur numérique inférieure ou supérieure à l’unité.

Corollaire j..' Considérons encore la série

Comme on aura dans ce cas

et par suite ,

on en conclura que la série est convergente entre les limites

x = — ~=— » , ;r = oo ,

c'est-à-dire, pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x.

Corollaire r/ Considérons enfin la série '"('/) I, l.X, 1.2.X1, 1.2.3.x5,... 1 .2.3...7I.X", &C.a Cn lui appliquant le théorème 2.* , on trouvera *■* 1 = n -+- 1 , A — o o ; et l’on aura par suite ,

On en conclura que la série (7) est toujours divergente, excepté lorsqu’on suppose x=o, auquel cas, elle se réduit à son premier terme 1 .

En examinant les résultats qu’on vient d’obtenir, on reconnaît immédiatement que, parmi les séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x, les unes sont tantôt convergentes , tantôt divergentes , selon la valeur attribuée à cette variable , tandis que d’autres restent toujours convergentes , quel que soit x , et d’autres toujours divergentes, excepté pour x — o. On peut ajouter que le théorème i ne laisse d’incertitude sur la convergence d’une semblable série que dans le cas où la valeur numérique de x devient égale

à la constante positive représentée par , c’est-àdire, lorsqu’on suppose

Dans ce cas particulier , la série est tantôt convergente , tantôt divergente, et la convergence dépend quelquefois du signe de la variable x. Par exemple, si dans la série (4), pour laquelle A = i , on fait successivement

on obtiendra les deux suivantes

i L f.L JL J-

dont la première est divergente [voyez dans le §. 2 le corollaire du 3 .* théorème] , et la seconde corner r

156 cours d’analyse.

^ gente , ainsi que cela résulte du 3 .* théorème [ §. 3].

Il est encore essentiel de remarquer que par suite du premier théorème, lorsqu’une série ordonnée Suivant les puissances ascendantes et entières d’une variable x sera convergente pour une valeur numérique de x différente de zéro , elle restera convergente , si l’on vient à diminuer cette valeur numérique, ou même à la faire décroître indéfiniment.

Lorsque deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x sont convergentes pour une même valeur de la variable , on peut leur appliquer les théorèmes 5 et 6 du §. 3. Cette remarque suffit pour établir les deux propositions que je vais énoncer.