Théorème. Supposons que les deux séries

( a0, a, x , axxx , . . . an xn , &c. . . ,

étant à- la- fois convergentes , lorsqu’on attribue a la variable x une certaine valeur , aient alors pour sommes respectives s et s ;

(1 1) a0-*-b0, (atA-b,)x, (a^bfv1, ...{an-+-b„). r* , &c..

sera , dans le même cas , une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s a- s.

Corollaire. On étendra facilement ce théorème à tant de séries que l’on voudra. Par exemple, si les trois séries

«„ , a, x , ax xx , &c ,

ba j b x x , b Xx j &c. . . . )

■ C0 j Cj OC , Cj JT y &C. . « • f I

sont convergentes pour une même valeur attribuée à la variable ce , et que l’on désighe par s, s', s" leurs sommes respectives ,

an-*-bt-i-ct , [a^b^c^x , (ax-+-bx-+-cx) xx,-,6tc... .

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour somme s-t- s'

4.' Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si de plus chacune des séries (10) reste convergente , lorsqu’on réduit ses dijferens termes à leurs valeurs numériques ,

j a0b0 , (aab,-+-atb0)x, (a0bl-+-a1b1+albc)xx , ...

| ... (t a0b K-+- a tb an tb:+anb0)x” , &c...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s».

Corollaire i.,t Le théorème précédent se trouve compris dans la formule

(o0-*-a1x-j-«1x'-f-&c.. .) (40-»-i1x-h4Jx*-+-&c..,.)

= a0i0-+- ( aQ b , -+- a , 4„) x -+- ( a0bx-ha, b ax60) xx-4~&lc. . .

qui subsiste dans le cas où chacune des séries ( i o) reste convergente lors même qu’on réduit ses différons termes à leurs valeurs numériques , et qui sert

158 cours d’analyse.

à développer dans cette hypothèse le produit des sommes des deux séries en une nouvelle série de même forme.

» Corollaire 2.' En répétant plusieurs fois de suite l’opération indiquée par l’équation (13), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois ou d’un plus grand nombre de séries semblables aux séries (10), et dont chacune resterait convergente après la réduction de ses diflféreus termes à leurs valeurs numériques. Le produit obtenu serait la somme d’une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Corollaire 3/ Si dans les deux corollaires précédons on supposé* que toutes les séries dont on multiplie les sommes deviennent égales , on obtiendra pour produit une puissance entière de la somme de chacune d’elles ; et cette puissance se trouvera encore représentée par la somme d’une série du même genre. Par exemple , si dans l’équation (13) on fait a0=b0 , a,=b, , ax—bx, &c... , on en tirera

( a0 a, x -+- ax xx -+- &c. ....)*

= û0* + 2fl0«,x + (2fl1,fl1+a1,)a:, + &c....

Corollaire 4. * Si l’on prend pour termes généraux des séries (10)

et

M{t*— 1 ) (fr— a) 1 )

/*’ — * /• • ■;(/ — »+')' xn •«

> 1 } ..Jt ?

sr *

ju., fx‘ désignant deux quantités quelconques, et la variable x étant renfermée entre les limites x— — i, X—-+- 1 , chacune des séries (10) restera convergente même lorsqu'on réduira ses différons termes leurs valeurs numériques, et le terme général de série (12) deviendra

) i/x-^/x'— 1) {/*-{-, u’— 2). , .{fx-+-fx—n- 4-i) x„' — 1.2.3 n

Cela posé, si l’on appelle la somme de la

première des sériés (10) dans 1 hypothèse que ion vient de faire , c’est-à-dire , si l’on pose

fx{fx— ')

les sommes des séries (10) et (12) seront respectivement désignées , dans la même hypothèse , par q>{/x), et Q(fx-t-p); en sorte que l’é-

quation (13) deviendra

(16) <p(».cpO') =

Lorsque dans l’équation (13) on remplace la somme de la série

ba , btx, bxx\ &c

par un polynôme composé d’un nombre fini de

160 COURS d’analyse.

termes, on obtient une formule qui ne cesse jamais

detre exacte, tant que la série

aa , a,c v , a^x' , &c

demeure convergente. C’est ce que nous allons prouver directement , en établissant le théorème qui suit.

5.c Théorème. Si, la série (i) étant convergente, on multiplie la somme de cette série par le polynôme

(i 7) kxm -+- lxm~' -t- &c -t -px-*-q,

dans lequel m désigne un nombre entier , on obtiendra pour produit la somme d’une nouvelle série convergente de même forme , dont le terme général sera

< • {(lan -*-pan-i -+■ ••• ^-ka„m)xm,

pourvu que Ion considère comme nulles dans les premiers termes celles des quantités

an-i > art-i • • * • an-m+ 1 » an-m >

qui se trouveront affectées d’indices négatifs : en d’autres termes , on aura

-4-px-t-q) x (aB-|-o1x+o1x1-l-&c...)

Démonstration. Pour multiplier la somme de la série (i) par le polynôme (17)» il suffira de la multiplier successivement par les différens termes de ce polynôme. On aura donc

( kxm-\- /xm l +.,.,+^1 + }) -4-&c.. .}

= q ( a0 4- atx + axx* +&c...) +px (a„ *t- «,x •+• a^x* + &c.. .) -4- &c ....

-4- /Xm— (o0+«,x+oJx1+...) + kxm (a0-t- a,X-4- «2x*+ &c.. .) ,

Comme on a de plus , pour des valeurs entières quelconques de n,

= qa0 qatx qa1x1 +{«„, x"~' ,

on en conclura , en faisant croître n indéfiniment , et passant aux limites,

q ( a„-Hi1x-t-a1x*-t-&c ) = ?«„-+- çoJx-+-ç<iJx*-l-&c.. .13

On trouvera de même

px (a„-l-oIx-(-«1x1-4-&c.. . .Jss^OaX-H-pa.x1-^®^3-^^,. ,

Ix m-‘ ( Oo-Hi.x-Hi.x'+SiC. ..) = la0xm~’+lalxm+lalxm+‘+Slc... , *xm( aa+alx+a1x1+à.c ) = kaaxm+ka lxm*l+kaixm*x+ii. c...

Si Ton ajoute ces dernières équations, et qu’en formant la somme des seconds membres on réunisse les coefficiens des puissances semblables de la variable x , on obtiendra précisément la formule (18).

Concevons maintenant que dans la série ( 1 ) on fasse varier la valeur de x par degrés insensibles. TOM. 1. L

162 cours d’analyse.

Tant que la série restera convergente, c’est-à-dire, tant que la valeur de x demeurera comprise entre les limites

la somme de la série sera [ en vertu du i théorème , §. i ] une fonction continue de la variable x. Soit Cf) (x) cette fonction continue. L équation

<p(.r) = aa-:t- a,x -+- axxl -h-&c

subsistera pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — -f , -+- ; ce que nous indi-

querons , en écrivant ces limites à côté de la série , comme on le voit ici

(ic>) Q(x') = a0-+-alx-t-alxt-*-&LC...

Lorsque la série est supposée connue , on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction Ç(x) sous forme finie ; et c est-là ce qu’on appelle sommer la série. Mais le plus souvent la fonction <p (x) est donnée, et l’on se propose de revenir de cette fonction à la série, ou, en d’autres termes, de développer la fonction en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x. II est facile d établir à ce sujet la proposition que je vais énoncer.

6.e Théorème. Une fonction continue de la variable x ne peut être développée que d’une seule manière en série convergente ordonnée suivant les

puissances ascendantes et entières de cette variable.

Démonstration. En effet, supposons qu’on ait développé par deux méthodes différentes la fonction <p (x) ; et soient

a„ , a,x , alxt .. . a„xn , &c.

ba , b,x, bxx ...bnxn, &c.

les deux développemens , c’est-à-dire, deux séries dont chacune, étant convergente pour des valeurs de x différentes de zéro , ait pour somme , tant quelle demeure convergente, la fonction cf>(.r). Ces deux séries étant constamment convergentes pour de très-petites valeurs numériques de x , on aura, pour de semblables valeurs,

a.+a.x+Æ.Æ1- h&c... = b0-\-b,x-+-bxx'-h&.c...

Comme , en faisant évanouir x , on tire de l’équation précédente

il en résulte qu’on peut la réduire généralement à alx-i-atx* + &LC... = b, x-^bjx -+-&c..., ou , ce qui revient au même , à

a,or-+-&c. . .) — x[b1-^bl x-i- &c.

Si l’on multiplie par ~ les deux membres de cette dernière équation, on obtiendra la suivante a, -a- ax x -+- &c. . . = b, -+- b, x -+- &c. . . ,

164 COURS d’analyse.

qui devra encore subsister pour de très-petites valeurs numériques de la variable x , et de laquelle on conclura , en posant x = o ,

En continuant de même , on ferait voir que les constantes a0 , a,, ax , &c... sont respectivement égales aux constantes ba , b,, bx, &c... ; d’où il suit que les deux développemens de la fonction Cp (x) sont identiques.

Le calcul différentiel fournit des méthodes trèsexpéditives pour développer les fonctions en séries. Nous exposerons plus tard ces méthodes ; et nous nous bornerons pour l’instant à faire connaître, avec le développement de la fonction ( i -+- x Y , dans laquelle fx désigne une quantité quelconque, deux autres développemens que l’on ramène facilement au premier , savoir , ceux des fonctions

A* et L(,i+x),

A désignant une constante positive , et L la caractéristique des logarithmes dans un système choisi à volonté. En conséquence , nous allons résoudre l’un après l’autre les trois problèmes qui suivent.

l.er Problème. Développer , lorsque cela se peut , la fonction

en série convergente ordonnée smvant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Solution. Si d’abord on suppose /x~m, m désignant un nombre entier quelconque , on aura , par la formule de Newton ,

La série dont la somme constitue le second membre de cette formule est toujours composée d’un nombre fini de termes : mais, si l’on y remplace le nombre entier m par une quantité quelconque fx, la nouvelle série que l’on obtiendra, savoir,

se trouvera composée en général d’un nombre indéfini de termes , et sera convergente seulement pour des valeurs numériques de x inférieures à Funité. Soit, dans cette hypothèse, la somme de la

nouvelle série; en sorte qu’on ait

En vertu du i.,r théorème [§. 1 ."] , c p(fx) sera fonction continue de la variable /x entre des limites quelconques de cette variable , et l’on aura [voyez le 3.* théorème, corollaire 4]

(16) Q(fx).q>(n.') = /a,').

Cette dernière équation , étant entièrement semblable à l'équation (2) du chapitre V [§. i.er], se résoudra de la même manière ; et l’on en couclura