KI)]'‘ = (I

La valeur de Ç(,a) étant ainsi déterminée , si on la substitue dans ia formule (15), on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x — — i, x = -t- 1 ,

(20) ( 1 -kt)* = 1 -t- y x-+- .r*-+-&c...

Lorsque la valeur numérique de x devient supérieure à l’unité, la série (5), n’étant plus convergente, cesse d’avoir une somme; en sorte que lequation (20) ne subsiste plus. Dans la même hypothèse , il devient impossible , ainsi qu’on le prouvera plfls tard à l’aide du calcul infinitésimal, de développer la fonction ( 1 +x)' en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Corollaire i.,r Si dans l’équation (20) on remplace /x par — , et x par aux, au désignant une quantité infiniment petite, on aura pour toutes les valeurs de aux renfermées entre les limites — 1 , +1, ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de

x renfermées entre les limites —

J. > j» jp* X*' s

(i-4-«jt) «s=i-t 1 ('T*)' Ci — *) ('— * *)-+-&<•• • .

Cette dernière équation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numérique de et, si l’on désigne à l’ordinaire , par l’abréviation lim. placée devant une expression qui renferme la variable et, la limite vers laquelle converge cette expression, tandis que la valeur numérique de et décroît indéfiniment, on trouvera , en passant aux limites ,

lim. ( 1 -+-cur\ * — n — — -h x 1 1- &c...

Il reste à chercher la limite de ( 1 -4- et .r) “ . Or, en premier lieu , on tirera de la formule précédente

lim. f 1 -t- et V* = 1 -t- — -i — - — 1 h &c... ,

ou, en d’autres termes, •

(22) lim. ( 1 -+- et) « = e,

e désignant la base des logarithmes népériens [voy. le §. i.er, équation (6)]. On en conclura immédiatement

lim. ( 1 -h et x) mx — e ,

et par suite

lim. (i-»-etjr)‘ = lim. [( 1 -h et x) " ] :

Si maintenant on remet la valeur de lim. (i-+-ct.r)“ dans l’équation (21), on obtiendra la suivante

168 COURS d’analyse.

' >-i 1.1.3 jx = 4-ooj

On pourrait arriver directement à l’équation (23), en observant que la série

est convergente pour toutes les valeurs possibles de la variable x , et cherchant la fonction de x qiri représente la somme de cette même série. En effet , soit Cp (.r) la somme de la série (6) qui a pour terme général

<p(y) sera la somme de la série qui a pour terme général

et [en vertu du 6.* théorème, §. 3] le produit de ces deux sommes sera la somme d’une* nouvelle série qui aura pour terme général

JL JL.*. .JL y

Ce produit sera donc égal à Cp ; et par suite, si l’on fait

. 1 -t-T^TT "*■ TXT &c”” »

la fonction (x) vérifiera I équation

En résolvant cette équation , on en tirera

c’est-à-dire , .

COROLLAI RE 2.‘ Si, après avoir retranché l’unité de chaque membre de l’équation (20), on divise les deux membres par jx. , i 'équation que l’on obtiendra pourra s’écrire ainsi qu’il suit ,

et , si dans cette dernière on fait converger fx, vers la limite zéro , on trouvera , en passant aux limites ,

(a4) Æm. — = x — — — -+-&c.... '

De plus, comme, en désignant par l la caractéristique des logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e, on a évidemment

on en conclura

170 cours d’analyse.

et par suite

(25) lim. =/(i +4

Cela posé, la formule (24) deviendra

Lequation précédente subsiste tant que la valeur numérique de x reste inférieure à l’unité ; et , dans ce cas , la série

est convergente, aussi bien que la série (4), qui en diffère seulement par les signes des termes de rang impair. Les mêmes séries devenant divergentes , dès qu’on suppose la valeur numérique de x supérieure à l’unité , l’équation (26) cesse d’avoir lieu dans cette hypothèse.

Dans le cas particulier où l’on prend x = 1 , la série (27) se réduit à la série ( 3) du troisième paragraphe,'laquelle est convergente, comme on l’a fait voir. L’équation (26) doit donc alors subsister; en sorte qu’on a

Si l’on prenait au contraire x— — 1 , la série (27} deviendrait divergente, et n’aurait plus de somme.

• On peut remarquer encore que, si, après avoir écrit — x au. lieu de x dans la formule (26), on

change à-la-fois les signes des deux membres , on obtiendra la suivante