CHAPITRE VII

Des Expressions imaginaires et de leurs Modules.

5- 1.*' Considérations générales sur les Expressions imaginaires.

En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle quelle doit* naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui , prises à la lettre et interprétées d’après les conventions généralement établies , sont inexactes ou n’ont pas de sens , mais desquelles on peut déduire des résultats exacts , en modifiant et altérant selon des règles fixes ou ces équations elles -mêmes, ou les symboles quelles renferment. L’emploi des expressions ou équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs , et d’écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. C’est ce qu’on a déjà vu dans le second paragraphe du troisième chapitre , où la formule (9) fournit une valeur symbolique très-simple de l’inconnue x assujettie à vérifier les équations (4). Parmi les expressions ou équations symboliques dont la considération est de

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quelque importance en analyse, on doit sur-tout distinguer celles que l’on a nommées imaginaires. Nous allons montrer comment l’on peut être conduit à en faire usage.

On sait que les sinus et cosinus de l’arc a-*- b sont donnés en fonction des sinus et cosinus des arcs a et b par les formules

( cos. (a-hb) — cos. a . cos. b — sin. a . sin. b ,

I sin. (d-i-b') = sin. a . cos. b -H sin. b . cos. a.

Or, sans prendre la peine de retenir ces formules, on a un moyen fort simple de les retrouver à volonté. Il suffit , en effet , d’avoir égard à la remarque suivante.

Supposons que l’on multiplie l’une par l’autre les deux expressions symboliques

cos, a -+- ]/— i sin. a , cos. b -+- j/— i sin. b ,

en opérant d’après les règles connues de la multiplication algébrique , comme si y/—t était une quantité réelle dont le carré fût égal à — i. Le produit obtenu se composera de deux parties , l’une toute réelle, l’autre ayant pour facteur -/—\ ; et la partie réelle fournira la valeur de cos. (a-t-è), tandis que le coefficient j/^T fournira celle de sin. ( a-+-b ). Pour constater cette remarque , on écrit la formule

cos. (a -+- -b) -+- y/—i sin. (fl -+- =: (cos.fl-t- j/— 1 s*n- a ) (cos- ^ ‘ sin. b).

Les trois expressions que renferme lequation précédente,. savoir,

cos. a sin. a ,

. cos. b -+- ■j/— i sin. b ,

cos. [a-k-fy -+* y/— i sin. ( a-i-b ) ,

sont trois expressions symboliques qui ne peuvent s’interpréter d’après les conventions généralement • établies , et ne représentent rien de réel. On les a nommées pour cette raison expressions imaginaires. L’équation (2) elle-même, prise à la lettre, se trouve inexacte et n’a pas de sens. Pour en tirer des résultats exacts, il faut, en premier lieu, développer son second membre par la multiplication algébrique, ce qui réduit cette équation à

j cos. (a-+-Z>)-+-y/r— 1 sin. (a-t-Æ ) = cos. a . cos. b.

J — sin. <2. sin. (sin .a. cos .b -+-sin .b. cos. a).

II faut, en second lieu, dans lequation (3), égaler la partie réelle du premier membre à la partie réelle du second, puis le coefficient de y/— > dans le premier membre au coefficient de y/—i dans le second. On est ainsi ramené aux équations (1), que l’oft doit considérer comme implicitement renfermées l’une et l’autre dans la formule (2).

En général, on appelle expression imaginaire

176 cours d’analyse.

toute expression symbolique de la forme

et -H Q y/—i ,

et , C désignant deux quantités réelles ; et l’on dit que deux expressions imaginaires

a. + C /-i , y-*-tJ\j/— i

sont égales entre elles , lorsqu’il y a égalité de< part et d’autre , i .° entre les parties réelles et et y, 2.* entre les coefficiens de y/^î , savoir , € et A Légalité de deux expressions imaginaires s’indique , comme celle de deux quantités réelles, par le signe = ; et il en résulte ce qu’on appelle une équation imaginaire. Cela posé, toute équation imaginaire n’est que la- représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple , l’équation symbolique

et -+- C y/—i = y y/— i

équivaut seule aux deux équations réelles

et = y , £ = A

Lorsque, dans l’expression imaginaire et -h Ç> yf— i ,

le coefficient € de ÿ^ï s’évanouit , le terme C j/^T est censé réduit à zéro , et l’expression elle-même à la quantité réelle et. En vertu de cette convention , les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers , les quantités réelles.

Les expressions imaginaires peuvent être sou-

mises, aussi bieu que les quantités réelles aux diverses opérations de l’algèbre. Si l’on effectue en particulier l’addition, la soustraction ou la multiplication de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, en opérant d’après les règles établies pour les quantités réelles, on ‘obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu’on appelle la somme , la différence ou le produit des expressions données; et l’on se servira des notations ordinaires pour indiquer cette somme , cette différence ,• ou ce produit. Par exemple, si l’on donne seulement deux expressions imaginaires

on trouvera

(6} (cL-h£}/— i ) x (y-t- fiÿ'— i )— sty —

Il est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires , comme celui de deux ou plusieurs binômes réels, restera le même, dans quelque ordre qu’on multiplie ses .différent facteurs., v . : r

Diviser une première expression imaginaire par une seconde , c’est trouver une troisième expression imaginaire qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. Le résultat de cette opération eèt quotient des deux* expressions, données. On se ser | TOM. l. M

Ï78 ’COUHS d’analyse.

perr'fifldiquer du signe ordinaire de la division. AîusjK par exemple , .. .*?•

♦ V.WU.nn :■ i

CL + C> — i

représente le quotient des deux expressions imagi- Rbirfes - i

Éiever une expression imaginaire à la puissance du degré m ( m désignant un nombre entier), c’est forrtiér le produit de m facteurs égaux à cette expression: On indique la puissance m.*'* de a.-hCy'—T par la notation

( cl ■+■ C ÿ'—i )*.

Extraire la. racine n.mi de l’expression imaginaire ou , en d’autres termes , élever cette

expression à la puissance du degré (n désignant

un nombre entier quelconque ) , c’est former une nouvelle expression imaginaire dont la puissance n reproduise et -4- G ■/- > . Ce problème admettant plusieurs solutions [voyez le §• 4], il en résulte que 1 'expression imaginaire <*.-*-£ j/— 7 a plusieurs racines du degré n. Lorsque nous voudrons désigner indistinctement l’une quelconque d’entre elles , nous emploierons la notation

ou la suivante