I.^ PÀfcVta. ’ CHAP. VII. I8i
, 1 THÉORÈME . Si l’on multiplie l’un paï iï-autre deux nombres entiers dont chacun soit la -somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux carrés.
Démonstration. Soient *
les deux nombres entiers dont il s’agit , et*, £*, <t'\ C'* désignant des carrés parfaits. On aura évidemment les deux équations
( -j/ — i ) (st'-j-C* — i ) = a &•' — - € G' "+* (Æ £'+&'£ — i .
( CL-S y/ZZ[ ) (<t'— Ç‘ ')/—,) = «.*'—££' (a. ^ '-4-ct'f ) /n ;
et, en multipliant celles-ci membre à membre, on obtiendra la suivante
(7) (ct,vC‘) = (<toc'-£S,)V(ct CwC)*.
Si l’on échange entre elles dans cette dernière les lettres et' et C' , on trouvera
Il y a donc en général deux manières de décomposer en deux carrés le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés. Ainsi , par exemple, on tire des équations (j) et (8)
On voit par ces considérations que l’emploi des ex-
182 €<HJRS D’ANAtY^Ë. •
pressions imaginaires peut être d’une grande Utilité» non-seulement dans l'algèbre ordinaire, mais encore dans la théorie des nombres.
Quelquefois on représente une expression imaginaire par une seule lettre. C’est un artifice qui augmente les ressources de l’analyse , et dont nous ferons usage dans ce qui va suivre.
J. 2.* Sur les Modules des Expressions imaginaires , et sur les Expressions réduites.
Une propriété remarquable de toute expression imaginaire et ■+■ C ;/— T* c’est de pouvoir se mettre sous la forme
j> (cos. 0 -+- }/—> sin. 0) ,
f désignant une quantité positive , et 0 un arc réel. En effet, si l’on pose Féquation symbolique
(i) ct-+-£ 1 =f (cos. 0 -H ]/— 1 sin. 0) ,
ou , ce qui revient au même , les deux équations réelles
on en tirera
<t* -+- = ^* (cos.* 0 sin.* 0^ f* ,
et — f cos. 0 , Q ~ f *in. 6 ,
et, après avoir ainsi déterminé la valeur du nombre f , il ne restera , pour vérifier complètement les équations (2), qua trouver un arc 9 dont le cosiuus et le sinus soient respectivement
cos,
sm
Ce dernier problème est toujours soluble, attendu que chacune des quantités — ^T»7 , a une valeur numérique inférieure à l’unité , et que la somme de leurs carrés est égale à t. De plus^ il admet une infinité de solutions différentes , puisqu’après avoir calculé une valeur convenable de l’arc 0 on pourra, sans changer ni le sinus ni le cosinus, augmenter ou diminuer cet aie d’un nombre quelconque de circonférences.
Lorsque l’expression imaginaire ce-*-by^-^î se trouve ramenée à la forme
p (cos.0 -i- y''— 1 sin. 0) ,
la quantité positive f est ce qu’on appelle le module de cette expression imaginaire ; et ce qui reste après la suppression du module , c’est-à-dire , le facteur
cos. 0-h/t: sin. ô ,
est ce que nous nommerons T expression réduite. Comme des quantités a et C supposées connues on ne déduit pour le module f qu’une valeur unique
184 COURS d’analyse. ?
déterminée par 1 équation (3), ii en résulte que Je module reste le même pour deux expressions imaginaires égales. On peut donc énoncer le théorème suivant.
i.*r Théorème. L’égalité de deux expressions imaginaires entraîne toujours l’égalité des modules, et par conséquent celle des expressions réduites.
Si l’on compare entre elles deux expressions imaginaires conjuguées, oh trouvera encore que leurs modules sont égaux. Le carré du module commun à ces deux expressions ne sera autre chose que leur produit.
; Lorsque dans l’expression imaginaire ct-4-£j/^ le second terme £ s’évanouit, cette expression se réduit à une quantité réelle et. Dans la même hypothèse, on tire des équations (3) et (4), i.°, quand et est positif,
cos. 0=1, sin. 0 = 0,
et par suite
0 =*± ikyr , *
k désignant un nombre entier quelconque ; 2.*, quand et est négatif ,
■ •/ = /(*•). ' cos. 0 = — I , sin. 0 = 0
et par suite . r
• 0 =x rb (2 ^ H- i)^. i " '• “
Ainsi le module d’une quantité réelle et, n’est autre chose que sa valeur numérique j/(ot/) ; et l’expression réduite qui correspond à une semblable quantité est toujours -+- 1 ou — 1 , savoir , ‘
-+- ï = cos. (rfc 2 X* 7r) -H j/— 1 sin. (dfc 2 Æ*7r) ,
lorsqu’il s’agit d’une quantité positive , et
— 1 = cos. (± zk~\r- 1 .7r) *+■]/—« sin. (dr 2 /:-+-! .7r),
lorsqu’il s’agit d’une quantité négative.
. Toute expression imaginaire, qui a zéro pour module se réduit elle-même à zéro , puisque ses deux termes s’évanouissent. Réciproquement, comme le cosinus ët le sinus d’un arc ne deviennent jamais nuis en même temps, il en résulte qu’une expression imaginaire ne peut se réduire à zéro , qu’autant que son module s’évanouit.
Toute expression imaginaire qui a l’unité pour module est nécessairement une expression réduite. Ainsi, par exemple,
, cos. 1 sin. a, cos .a — j/— isin.O,
— cos. a — y'— 1 sin. a, — cos. a-*- j/— 1 sin. a , *
sont quatre expressions réduites conjuguées deux à deux. Effectivement, pour tirer ces quatre expressions de la formule
.cos. 0 -+- j/— 1 sin. ô , î 1 ‘4
186 cours d’analyse,
il suffira de poser successivement
= ûz2 kir -k- a , 0 = ±2^7r — a ,
ô = dr (2 Ica- 1 ) 7r -t- « , 0=±(2^-t-i)7r — a,
k désignant un nombre entier quelconque.
Les calculs relatifs aux expressions imaginaires pouvant être simplifiés par la considération des expressions réduites, il importe de faire connaître les principales propriétés de ces dernières. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que je vais énoncer.
2 / Théorème. Pour multiplier l’une par l’autre deux expressions réduites
cos. 0 -+- Y~ ' s‘n- ô 1 cos. 0’ -+■ sia- ,
il suffît d’ajouter les arcs S et B' qui leur correspondent.
Démonstration. On a, en effet,
(cos. 0 •+• j/— 1 sin. 0) (cos. 0' -+• j/— 1 sin 0')
= cos. (0 -+- 9’ ) -H j/~ 1 sin. (-0 -H 0‘ ).
Corollaire. Si dans la formule précédente on fait ô' = — 0 , on trouvera , comme on devait s’y attendre ,
(6) ( cos. 0 -t- 1 sin. 0) (cos. 0 — j/— » sin. 0) = t.
3.* Théorème. Pour multiplier les unes parles autres plusieurs expressions réduites
; cos. fl 4- ]/— i sin. ô , cos. ’ô" 4- 1 sin. 9' ,
cos. ()" -4- y'— i sin. ô* , &C. ... ,
il suffit d’ajouter les arcs 9, 9', 8", ... qui leur correspondent.
Démonstration. En effet, on aura successivement
(cos. 9 4- j/— i sin. 9) (cos. 9' -I- y/—i sin. 9' )
= cos. (9 4- 9’) 4- -/—I sin. (6 -+- 9'),
(cos.fl-t-^/ — isin.9) (cos. 9'-+-]/— isin.9')(cos.9 '-+■ ■j/i— isin.G )
= [cos. (9-4-9')-+- |/—i sin. (94-9')] [cos.9''-»-|/— i sin. 9 "]
= cos. ( 9 -4- 9' -4- 9") -4- -j/— i sin. (9 4- 9' 4- 9 ") , .
&c....; et, en continuant de même, on trouvera généralement, quel que soit le nombre des arcs, 9,
j (co*.}4-y/ — 1 sin.J) (c(V-9'#-^/— 1 sin. fl') (cos.jj+y/— , sin. fl')... | = cos. (8 4-ô'-+- 6 "...)-+- y/^I »in. (fl -4- ô'- • •)•
Corollaire. Si l’on développe par la multiplication immédiate le premier membre de 1 équation (7), le développement se composera de deux parties, l’une toute réelle, l’autre ayant pour facteur 1. Cela posé, la partie réelle fournira la valeur de cos. ( 9-4-9'-+-9" ... ) , et le coefficient de dans la seconde partie la valeur de sin. (9 4-9' 4-9''...). Supposons, par exemple, que l’on considère seulement trois areis 9,9', 9". L’équation (y) deviendra
188 coulis d’analyse. ■
(co».|-t-/r7ih».8) (co»'.8'-+-1/rr»in.e') (c-os.r-4-/— im.J") = ««»• C « -*- 9' -4- f ) H- /n »în- ( 8 8' 8“ ) ;
et, après avoir développé le premier membre de cette dernière par la multiplication algébrique , on en conclura
eos. ( 8 8* *+* 8" ) = cos. 8 cos. 8’ cos. 8” — cos. 8 sin. 8' sin. 8”
— - si». 8 cos. 8’ sin. 8“ — sin. 8 sin. 6" cos. 6" i sin. ( 8 -+■ 8’ •+■ 8 ) — sin. 8 cos. 6' eos. 8" -+- cos. 8 sin. 8’ cos. J*
-4- cos. 8 cos. 8' sin. 8" — sin. 8 sin. 8' sin. 6".
, 4.* Théorème. Pour diviser l’ expression réduite ~ • ... .
cos. 0 -4- y— i sin 9
par la suivante
cos. 9' -+- j/— i sin. 9' ,
il suffit de retrancher l’arc 8', qui correspond a la seconde , de l’arc 0 correspondant à la première.
Démonstration. Soif si le quotient cherché, en sorte qu’on ait . \
x cos. 8 -4- y/~ sin. 8
cos. 8' -4- 1/^7 sin."?” ’
Ce quotient devra être une nouvelle expression imaginaire tellement choisie, qu’en la multipliant par cos. 9'— t- j/— i sin. 9' on reproduise cos. 0-+- >/—i sin.0. En d’autres termes , x devra satisfaire à l’équation
( cos. 9* -+- y*— i sir» 9' ) X — eos. 0 -4- j/— i sin. 9.
Pour tirer de cette équation la valeur de x , il sut
(ira de multiplier les deux membres par
co». 6' — » *in. fl'. ■■■•».
On réduira de cette manière le coefficient de x à l’unité [voyez le a.* théorème , corollaire i ] , et loi} trouvera - . , ...k, ' * ..
X = (cos. 0-k-y^Tsin.6) (cos. 6' — i/^sin.G') t - T ss (cos.6-f-/-i sin. »)[ CO s.( — tsin.( — 8')] ’
= cos. (8 — 8') •+■ /-• sin.(8 — 6'). > i |
On aura donc en définitive
Corollaire. Si dans l’équation (8) on fait
6 = o, elle donnera . , ,,
( . ; ' .AJ-. -J- =fi co». 8' — i/— » sin. 8'.
, *¥/X» - .««UH /— »-«“M r ^
