e Théorème. Pour élever l’expression imaginaire

. cos. 9 t/— i sin. 9

a la puissance du degré — m f m désignant un nombre entier quelconque ) , il suffit de multiplier dans cette expression F arc 9 par le degré — m.

DÉMONSTRATION. En effet, d’aprcs fa définition que nous avons donnée des puissances négatives [voyez le §. î ] , on aura

(cos. 9 -+- j/— i sin. 0)~" —

^ eus. i-r y' — i *in. &}n

cés. mQ -H- *în.

Par suite, en ayant égard à la formule (9), on trouvera

(13) (cos.9-t-p/’— 1 sin. 9)“’”= cos.wô — j/— 1 sin.m9,

©u, ce qui revient au même ,

(l4) (cos.9-Hj/— i sin. 9)“" = cos. [— #i9)-l-j/— 1 sin.(— Jn9).

-Après avoir établi , comme nous venons de le1 faire , les principales propriétés des expressions ré*, duites, if devient facile de multiplier ou de diviser l’une par Fautre deux ou plusieurs expressions imaginaires, qùets que soient leurs modules, aussi bien que d’éfèVer une expression imaginaire quelconque à la puissance du degré m ou — m ( m désignant un nombre entier). On peut, ën effet, exécuter' simplement ces diverses opérations à l’aide des théorèmes suivant. ■- *•

192 'COURS d’analyse.' J

■ 7.* Théorème. Pour obtenir le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires , il suffis de multiplier le produit des expressions réduites qui leur correspondent par le produit des modules.

. Démonstration. Le théorème énoncé se déduit immédiatement de ce principe, que le produit de plusieurs facteurs réels ou imaginaires reste le même dans quelque ordre qu’on les multiplie. Soient effectivement * •

j> ( co*. 9 -+- /— t *in. 9 ) , jl ( eos. 9' -+- yCT sin. 9' ) ,

J>" ( co». 9" -+- y'iTT *in. 9" ) , &c..'. . .

plusieurs expressions imaginaires, dont j», f, f" .... désignent les modules. Lorsqu’on voudra multiplier* entre elles ces expressions doftt chacune est le pro-. duit d’un module par une expression réduite , on pourra, en vertu du principe qu’on vient de rappeler, former, d’une part, le produit de tous les mo-j dules , de l’autre , celui de toutes les expressions réduites, puis multiplier ces deux derniers produits^ Fun par l’autre. On trouvera de cette manière pour B&ultat définitif ; *

Corollaire i/r Le produit de plusieurs exprèssions imaginaires est une nouvelle expression imaginaire qui a pour module le produit des modules de toutes les autres.

Corollaire 2 / Comme une expression imaginaire ne s’évanouit jamais qu’avec sop module ;t et;

rr

que pour faire évanouir le produit de plusieurs modules, il faut nécessairement supposer Fun d’eux réduit à zéro , il est clair qu’on peut tirer du théorème 7.® la conclusion suivante :

Le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires ne peut s’évanouir qu’ autant que tune d'elles se réduit a zéro.

8.® THÉORÈME. Pour obtenir le quotient de deux expressions imaginaires , il suffit de multiplier le quotient des expressions réduites qui leur correspondent par le quotient des modules.

Démonstration. Supposons qu’il s’agisse de diviser l’expression imaginaire

f ( cos. ô -+- v^Tsin.S) , dont le module est j> , par la suivante f' (cos. 0’ -+- ~ sin-ê’ ) ,

dont le module est f'. Si l’on désigne par x le quotient demandé , x devra être une nouvelle expression imaginaire propre à vérifier l’équation

^'(cos. 0H-|/~ isin.ô')^ = ^>(cos.0-t- j/— isin.0),

Pour tirer de cette équation la valeur de x, on multipliera les deux membres par le produit des deux • facteurs »

■A- , cos. 0' — y'— 1 sin. 0' ,

et l’on trouvera de cette manière , en écrivant