TOM. I . N

194 COURS d’analyse.

au lieu de f x

X = ~~r [ cos. (6 — 6' ) -f- sin.(0 — 6')}.

On, aura donc en dernière analyse ,

<«o s i [co,.(8-8')-t-/=T«in.(8-n =

v j> (cos. g -i->/ — 1 8in- 6 ) R

et, puisqu’on vertu du 4-' théorème

cos. (ô — 6’) -4- y~ y sin. (8 — 6')

est précisément le quotient des deux expressions réduites

cos. 0 -4- y — < sin. 0 , cos. 6 ’ -t- y— > sin. 6* »

il est clair qu’après avoir établi la formule ( 1 6 ) nous devons considérer le 8.e théorème comme démontré.

Corollaire. Si dans l’équation (i 6) on fait ô = o, elle donnera

J>' (co*. 8' *4- — I »in. H‘)

= A-(cos.0' — y—î sin. 8').

ç>.e THÉORÈME. Pour obtenir la m."' puissance d’une expression imaginaire ( m désignant un nombre entier quelconque J, il suffit de multiplier la i n.m‘ puissance de l’ expression réduite correspondante par la m.mc puissance du module.

Démonstration. En effet, si dans le 7.' théorème on suppose les expressions imaginaires

1“ PARTUB. CHAP. YJI. 195

ÿ (cos. 9 -+- /- i sin. 0) , f (oos. 6' ■¥■ /^T«in.0') , f" (cos. sin, 0®) , &C

toutes égales entre elles , et en nombre m , leur produit sera équivalent à la puissance m.mt de fa première, c’est-à-dire, à

[/( cos. 0 -+- y'— i sin. 0) J* f

et, comme daus cette hypothèse l’expression (15) deviendra

JS* [cos. 7W0 -+- y^Tsin.Wï0J, on aura définitivement

(il 8) [^(cos.G-t-j/— 1 sin.0)]'"==^*[cos.m0-Hy'^7sin.m0]. L’expression réduite

cos. m 0 -H i sin. m 0

étant égale (en vertu du ye théorème) à

(cos. 0 -+- ÿ— 1 sin. 0)*%

il en résulte qu’après avoir établi la formule ( 1 8) on doit considérer le théorème 9/ comme démon trq.

10.* Théorème. Pour élever une expression imaginaire à la puissance du degré —m (m désignant un nombre entier ) , il suffit de former les puissances semblables du module et de F expression réduite , puis de multiplier ces deux dernières puissances l'une par ï autre.

Démonstration. Supposons qu’il s’agisse

19(5 • cours d’analyse.

d elever à la puissance du degré — m l’expression

imaginaire

f ( cos. 6 -+- sin. 6) ,

dont le module est f. On aura, en vertu de la définition des puissances négatives,

[/ (cos.0 -I- sin. 6)]"" = 1 [ .iM)?' •

J>m (coi. mfj -i- ÿ ~i »io. mf))

Par suite, en ayant égard à la formule (17) , on trouvera

[y>(cos.0-t-/^«n.6)]'w=^[cos.m0— p^sin.mÔ] ,

ou , ce qui revient au même ,

(»9) sin.0)]-m=/-"[eos.m0-v^ sin.W0].

Cette dernière formule réunie à l’équation ( 13) fournit la démonstration complète du 1 o.e théorème.

J. 3.* Sur les Racines réelles ou imaginaires des deux *; quantités -4- 1 , — 1 , et sur leurs Puissance p fractionnaires. •

Supposons que Ton désigne par m et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si l’on fait usage des notations adoptées dans le premier para- - graphe, les racines n.m f dé l’unité, ou, ce qui revient

tu même , ses puissances du degré — ■ seront les diverses valeurs de l’expression

et de même, les puissances fractionnaires de l’unité,

positives ou négatives , du degré ou — ^-pteront

les diverses valeurs de

«or »» «or.

On en conclura que , pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffit de résoudre , l’un après l’autre, les trois problèmes suivans.

l.er Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de 1 expression

Solution. Soit x l’une de ces valeurs ; et, afin de la présenter sous la forme générale qui comprend à-la-fois toutes les quantités réelles et toutes les expressions imaginaires , supposons

x — r ( cos. t •+• j/— T sin. t ) ,

r désignant une quantité positive , et t un arc réel. On aura , d’après la définition même de l’expres-

sion ((i))\

ou , ce qui revient au même ,

r* [cos. n t -+- j/pT »in. n t ] = i .

19® CO UK s d'analyse.

On tirera de cette dernière équation [ à l’aide dix théorème i.", §. 2]

cos. nt •+• ÿ— « sin. nt — l \

et par suite ,

cos. nt=i, sin. nt — o , nt — db. ik'K ,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et t étant ainsi déterminées , les diverses valeurs de x propres à vérifier i équation (1) seront évidemment comprises dans la formule

2 j X — co». — “ — y — 1 sin. — - — .

En d’autres termes, les diverses valeurs de ([t))" seront données par l’équation

> sin.

■ Soit maintenant h le nombre entier le plus rapproché du rapport -- . La différence entre les deux

nombres h , — , sera tout au plus égale à ~ ; en

sorte qu’on aura

= hdt

désignant une fraction égale ou inférieure à >

et par suite, k‘ un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à ~ . On en conclura