IX * I .IX J
cos. — = — — , sin. = -t — ,
en vertu desquelles les valeurs imaginaires de l’ex-
pression (( i )) 3 se réduisent à
Corollaire j.f n désignant un nombre entier quelconque , le nombre des valeurs soit réelles , soit
imaginaires, de l’expression (( i )) " , ou, ce qui revient au même, le nombre des valeurs .de x, propres à vérifier l’équation x" — i , restera toujours égal à n.
2.e Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de F expression
Solution. Les nombres meta étant supposés premiers entre eux, on aura, d’après la définition
même de l’expression (( i )) ” , .
20 i COURS D’ ANALYSE.
((or={(('))T;
puis , en remettant pour (( x )) " sa valeur générale tirée de l’équation (3), on trouvera
((*)) " = [cos- - Z"7 siD- " *
. / et par suite,
(6) ((,)) = = c«.^±/=7. h ..ÜiÜ.
Pour déduixe de cette dernière formule toutes les
valeurs de (( 1 )) " , il ne rqste qu’à donner successivement à k toutes les valeurs entières comprises
entre o et — . Soient k‘ , k" deux de ces valeurs supposées inégales. Je dis que les cosinus
m.ik' nr m. i A” t
COS. . cos. —
seront nécessairement différens l’un de fautre. En effet , ces cosinus ne pourraient devenir égaux que dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entxe eux par une équation de la forme
m.ik'Tr m.*k"ir
= zïz 2 /17T dt ■ ,
h désignant un nombre entier. Or on tire de cettç équation
Il faudrait donc , puisque m est premier k n, que
±zk'±k" fût divisible par n ; ce qu’on ne saurait admettre, attendu que, les nombres k' , k" étant inégaux, et chacun d’eux ne pouvant surpasser \n, leur somme ou différence est nécessairement inférieure à n. Ainsi, deux valeurs différentes de k comprises entre les limites o et -~n fournissent deux valeurs différentes de
m.xknr
cos. .
On conclut aisément de cette remarque, que les
valeurs réelles ou imaginaires de l’expression ((i)) * données par l’équation (6) sont en même nombre
que les valeurs réelles ou imaginaires de ([ i )) * déterminées par 1 équation (3). De plus, comme on a évidemment
[m . 1 k t , . . m.iir 1*
cos. ± y — 1 sin. J
= cos. in . zk'TV ± y~ 1 sin. 7il. ik'K =s I ,
il en résulte que toute valeur de ((1)) " est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance n équivaut à l’unité, par conséquent, une valeur de
^ 1 )) " . .Ces observations conduisent à la formule
dans laquelle le signe = indique seulement que l’une des valeurs du premier membre est toujours égale à l’une des valeurs du second.
206 COURS d’analyse.
3.* PROBLÈME. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de i expression
«or-
Solution . On aura, d’après la définition des puissances négatives ,
. «or
TC
puis, en remettant pour ((i))" sa valeur générale tirée de l’équation (6 ) , et ayant égard à la formule (p) du paragraphe précédent,
Il suit de cette dernière équation que les diverses
valeurs de (( r )) " sont les mêmes que celles de
