TC

{( i )) " , et par conséquent égales à celles de (( i " . On a donc

le signe = devant être interprété comme dans Téquation (y).

Corollaire. Si Ton fait m — i, la formule (9) donnera

Supposons maintenant que Ton cherche les racines et puissances fractionnaires non plus de l’unité , mais de la quantité — i . Les racines n.m“ de cette quantité , ou , ce qui revient au même , ses

puissances du degré -L , seront les diverses valeurs de l’expression

et de même, les puissances fractionnaires de — i ,

positives ou négatives , du degré- ou ,

seront les diverses valeurs de

((-*))’ ou i-'lT* •

En conséquence, pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffira de résoudre l’un après l’autre les trois nouveaux problèmes que je vais énoncer.

4.* PROBLÈME. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de F expression

Solution. Soit

x = r ( co*. t -4- sin. t )

l’une de ces valeurs , r désignant une quantité positive, et t un arc réel. On aura, d’après la défi-

nitiori même de l’expression (( — i))n,

ou, ce qui revient au meme,

r" [ cos. nt ■+■ i sin. nt] = — f «

208 cours d’an al-y««.

On tirera de cette dernière équation [.& Faide du théorème i.*’, §. 2 ]

cos. nt -4- |/— i sin. nt — — 1 , et par suite , " r

co*. nt — — 1, sin.n/ = o, nt— ± (2 Æ-+- 1) 7T ,

h représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et t étant ainsi déterminées, les di- Terses valeurs de x propres à vérifier l’équation (1 1) se trouveront évidemment comprises dans la formule

(12) jr = cos. ±: y- 1 S,n. — .

En d’autres termes , les diverses valeurs de (( — 1)) seront données par l'équation

Soit maintenant h le nombre entier le plus rapproché du rapport . La différence entre les

deux nombres h , • 2 - sera évidemment une

fraction de numérateur impair , inférieure ou tout au plus égale à ~ ; en sorte qu’on aura

( 1 * h* O h JL ' ^ 2 1 ^