VI
on trouvera définitivement
Corollaire 2.' Lorsque n est impair, les di-> verses valeurs que 2 1 peut recevoir sans sortir
des limites o et n, sont respectivement
I j ^ j ^ j •••• Tl ~ 2 j Tl»
Pour chacune de ces valeurs de 2^+1, la formule (13) fournit en général deux valeurs imagi-
naires conjuguées de l’expression ((— 1)) ”, c’est-àdire , deux racines imaginaires de — 1 conjuguées et du degré n. Seulement on trouve , pour 2 ta- 1 =nf une racine unique et réelle , savoir , — 1 . En ré-
sumé, lorsque n est impair, l’expression ((—*))”
admet , avec la seule valeur réelle
212 cours d’analyse.
n — i valeurs imaginaires conjuguées deux à deux ,
savoir
COS
cos
VT y , T *JT y— — ■ T
ITT / — . \TT ît y . ÎT
f cos. 1-/— T sm. , cos.- — — sm. —
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imaginaires est égal à n.
Supposons , par exemple, n — 3. On trouvera
qu’il existe trois valeurs de l’expression (( — 1 )) J , ou, ce qui revient au même, trois valeurs de x propres à vérifier l’équation
et que ces valeurs , dont une est réelle , sont respectivement • . ~ 1
cos
. 1- y — 1 sin. — — 1 y — 1 ,
* / Tt I 12 y
cos. y— 1 sm.- — = - — v— 1*
COROLLAIRE 3.' n désignant un nombre entier quelconque , le nombre des valeurs , soit réelles ,
soit imaginaires, de l’expression ((— 1)) ", ou, ce qui
revient au même , le nombre des valeurs de x propres à vérifier l’équation x" = — i , restera toujours égal à n.
5.* Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l'expression
SOLUTION. Les nombres m et n étant supposés premiers entre eux , on aura , d’après la définition
même de l’expression (( — i )) " ,
puis, en remettant pour (( — i)) " sa valeur générale tirée de l’équation ( i .3 ) ', on trouvera
(l6) ((-!)) * -cos.—;- -;-dr/^7s,n. -V w .
Pour déduire de cette dernière formule toutes les
valeurs de ((— i)) ", il ne reste qu’à donner successivement à z Ic-t- r toutes les valeurs entières et impaires comprises entre o et n. Soient z/c' i , z/c" i, deux de ces valeurs supposées inégales. Je dis que les cosinus
m ( ii'+i)» i)ir
COS* ■ « cos* ~ «
seront nécessairement différens l’un de l’autre. En effet , ces cosinus ne pourraient devenir égaux que
21 4 cours d’analyse.
dans. le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme
— - — 2 A 7T zfc. - — ,
A désignant un nombre entier. Or, on tire de cette équation
m j~ ±(ir-«-.)=bc»r-4-.) j
II faudrait donc , puisque m est premier à n , que le nombre entier
± ( i k'-+- 1 ) rt ( i k"-t- i )
fût divisible par n ; ce qu’on ne saurait admettre , attendu que, les nombres zk[-\- i , zk" -+- i étant inégaux, et chacun deux ne pouvant surpasser n, leur demi-somme , et à plus forte raison leur demidifférence, est nécessairement inferieure à n. Ainsi deux valeurs différentes de zk~\-i comprises entre les limites o et n fournissent deux valeurs différentes de
On conclut aisément de cette remarque que les valeurs réelles ou imaginaires de l’expression (( — i)) données par l’équation (16) sont au nombre de n,
* JL J
comme celles de (( i ))" et de (( — i ))" . De plus * comme on a évidemment
»ia
cos. ± Sin. — — J
= cos. m[zk-t- l)7T dt |/— I sin. 111 (2 k -+- i)^
il en résulte que toute valeur de (( — 1)) " est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance n.Ke équivaut à ± 1 , par conséquent , une valeur de
(( 1 )) " ou de (( — 1 )) " . Cette remarque conduit à • l’équation
toutes les fois que (— i)m = t , c’est-à-dire, toutes les fois que m est un nombre pair ; et à la suivante
(•8) ((-or=((-‘f.
lorsque (— 1)*= — 1, c’est-à-dire, lorsque m est un nombre impair. Ajoutons que l’on peut comprendre les équations ( 1 7) et (18) dans une seule formule , en écrivant
OsO ((-0):=(((-0mf- • ■■
6.e Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’ expression
SOLUTION. On aura , d’après la définition des puissances négatives ,
21Ô cours d’analysé.
puis, en remettant pour ((— 1)) ” sa valeur générale tirée de l’équation ( 1 6) , et ayant égard à la formule (9) du paragraphe précédent,
(HJ
cos.
— I S1ÜA
»i(iÀ4-»)y ,
• II suit de cette dernière équation que les diverses
valeurs de ((— 1)) " sont les mêmes que celles de
((1)) * . On aura en conséquence
. tn 1 .
(21) ((— 1)) " = ((1))" , si m est pair, et
(22) (( — 1)) " = ((— i))", si ni est impair.
A la place des deux formules qui précèdent , on peut se contenter d’écrire la suivante ,
Corollaire. Si l’on fait tw=i , la formule
(23) donnera
(24) ((-1 rSfl-ij*. ■.
En terminant ce paragraphe, nous ferons reiriâr* quer que les équatioris (3), (4), (8), (13), (16) et (20) , à l’aide desquelles on détermine les valeurs des expressions
((-0)", (HJ% ((-0f% M;> :
peuvent être remplacées par deux formules. En effet, si l’on désigne par a une quantité positive ou hégative dont la valeur numérique soit fractionnaire, la valeur de (( i ))" déterminée par l’équation (3), (6) ou (8) sera évidemment
(23) (( 1 ))" = cos. 2 k a 7r ± y'— « sin. 2 k a 7T ,
tandis que la valeur de (( — 1 ))“ déterminée par l’équation (13), (16) ou (20) sera
(*«) ((-or — cos.(2A'-t- l 'yiTTzhy'—i sin.^A'-H^aTT.
Dans les deux formules précédentes , l’on peut prendre pour k un nombre entier quelconque.
J. 4.* Sur les Racines des expressions imaginaires , et sur leurs Puissances fractionnaires et irrationnelles.
Soit
