CL -4- £ j

Une expression imaginaire quelconque. On pourra toujours trouver [ voyez le §. 2 ] une valeur positive de j> et une infinité de valeurs réelles de ô propres à vérifier 1 équation

(i) A -4- C y'— 1 —J> (cos. 9 -+- 1 sin» 6)*

218 COURS d’analyse.

Cela posé, concevons qué l’on désigne par m et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si l’on fait usage dos notations adoptées dans le premier paragraphe, les racines «.*" de l’expression cc-t-€j/- T, ou , ce qui revient au même , ses puissances du

degré — seront les diverses valeurs de • ______ ,

XÛ' cl -+- = ((<t-»-C i )) " ;

et de même , les puissances fractionnaires de cl -*-£ y^î , positives ou négatives, du degré — , ou

— — , seront les diverses valeurs de

fl 1

((et -h £ " ou ((et -4- £ ]/—>)) * .

En conséquence , pour déterminer ces racines et ces puissances , il suffira de résoudre l’un après l’autre les trois problèmes suivans :

l.er Problème. Trouver les diverses valeurs de l expression

((oc -t- £ ]/-i )) " .

Solution. Soit

JC — r ( cos. t |/— i sin. t )

l’une de ces valeurs, r désignant une quantité pp-, sitive, et t un arc réel. On aura, d’après la défini-

tion même de l’expression ((cc-hCj/^T)) " ,

(2) xn z=zcL-¥- £ j/— 1 =r J> (cos. 6-t- ]/— 1 sin. ô) j

ou , ce qui revient au même ,

r" [ cos. n f-t-j/— i sin. n <] —f> [cos. 6 -t- ]/— i sin. 9 ].

On tirera de cette dernière équation [ à l’aide du i.tr théorème, §.2]

cos.» £4- j/— 1 sin. nt — cos. 9 -+- }/—' sin. 9 ,

et par suite

cos .nt — cos. 9 , sin .nt — sin. 9 ,

fl± 1 k T

u( =z è ± ik 7T ,

Æ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités r et t étant ainsi déterminées , les diverses valeurs de x propres à vérifier l'équation ( 1 ) seront évidemment comprises dans la formule

: ÿ " [cos.

(rfc 2 A t

• sm.

I rb î ^ t J

i r s , — . sir . , — .

= ^ " I cos. — -t- )/— 1 sm. — cos. ± j/— 1 sm. ,

ou , ce qui revient au même , dans la suivante ,

(3) [cos. l-*-/-! sin. -J~]((l))“ .

En d’autres termes , l’expression (( a, -+- C )) “ ,

aussi bien que ((1)) " , admettra n valeurs différentes déterminées par l'équation

cours d’analyse. ,

(4) ((cL-t-Cj/^i)) ' —f" [cos. y~i sin. (( I )) » .

Corollaire i/r Supposons n= 2. On trouvera

S u il existe deux valeurs de l’expression

((«t+CjÆïf,

ou , ce qui revient au même , deux valeurs de x propres à vérifier l'équation

. 'T =<l+C/-i = ^>( cos. 0 -f- j/— 1 sin. ô) ,

et que ces deux valeurs sont comprises dans la formule

(cos. sin. 1).

Corollaire 2.* Supposons encore n — 7. On trouvera qu’il existe trois valeurs de l’expression

((et -4- G /-i )) 3 »

ou i ce qui revient au même , trois valeurs de x propres à vérifier l’équation

x ’ — et -t~ G j/-i — j> (cos. 6 y'— 1 sin. ô) ,

et que ces trois valeurs sont respectivement

/ J (cos. y H- /-I sin. j-J ,

(cos. y

y) (cos. y sin. y^

— ÿ j (cos.

9"+*2,r 1 j/ r(:n fl-^2,r>t

J -*-y 1 sin. ^ J ,

j^COS. y -+■ y —

1 sin‘ [cos- y — sin- y]

— p 5 £cos.

9-1T , ,/- • fl-^1

i .. ^K tsin‘ } J- 1

J . I." PARTIE. CIIÀP. VII. 221

Corollaire Supposons enfin n = 40n trouvera qu’il existe quatre valeurs de l’expression

ou, ce qui revient au même, quatre valeurs de x propres à vérifier l’équation

X* = ce -+- € ]/— 1 = (cos. 0 -+- j/— ’i sin. 0) ,

et que ces quatre valeurs sont comprises dans les deux formules

zt j> * j^cos. — -+- |/— i sin. —J ,

dr ÿ * J^sin. — — y—i cos.— J.