e Problème. Trouver les diverses valeurs de ï expression
Solution. On aura , d’après la définition même des puissances négatives ,
((ce -+-€/-■ )) "■= -
puis, en remettant pour ((ct+£yC7)) " sa valeur tirée de réquation (6), et ayant égard à la formule (17) du deuxième paragraphe, on trouvera
(?* +CJ=$ = feo, <ËÉlk7r) V— »«=*=»**) 1
ou , en d’autres termes , . n
Corollaire i.*r Si l’on faitwi=i , l’équation (7) donnera
(8) ((«-t-f/TT)) V «= ji~ ^ £cos. ± JL J
Après avoir fixé , comme on vient de le faire , les diverses valeurs des quatre expressions
, • on reconnaîtra sans peine que les équations (4),
(5), (8) et (7), à l’aide desquelles on détermine ces valeurs , peuvent être remplacées par une seule for* mule. Si l’on représente par a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire , la formule dont il s’agit sera
(9) 1 Y — j>‘ [cos.a0-4-j/— »sin.a0]((l))*.
Dans les calculs qui précèdent , f désigne tou-, jours le module de L’expression imaginaire c’est-à-dire , la quantité positive y /[a.% et 0
l’un quelconque des arcs propres à vérifier l’équation ( 1 ) , ou , ce qui revient au même , les équations (4) du deuxième paragraphe, savoir ,
cos. 0 = sin. 0 —
En divisant ces deux dernières l’une par l’autre , on en conclura • ’ .> ■ *
Par suite, si l’on nomme £ le plus petit arc, abstrac-
224 cours d’analyse.
tion faite du signe , qui ait pour tangente , ou ,
en d’autres termes, si Fon fait
(12) £ — arc tang.» •— , on trouvera
(13) teng. 0 = tang. £
Cela posé, il deviendra facile d’introduire au lieu de l’arc 0 , dans les diverses formules rapportées plus haut, Tare £, dont la valeur est complètement déterminée. On y parviendra en effet par les considérations suivantes.
Les arcs 6 et£, ayant la même tangente, auront aussi , abstraction faite du signe , le même sinus et • le même cosinus; et comme d’ailleurs l’équation (13) peut se mettre sous la forme
sin. 8 sin. £
coi. g co*. ( ’
il est clair que pour y satisfaire , on devra poser en même temps ou
(i4) cos. 0 = cos. £ , sin. 0 = sin. Ç,
ou bien
(13) cos. 0 = — cos. £ , sin . 0 = — sin £
De plus , la valeur de cos. 0 déterminée par la première des équations (10) étant évidemment de même signe que et, tandis que l’arc £ compris entre
les limites — ■+■ -p, a toujours un cosinus
positif, il en résulte que des équations (i 4) et (15) les'deux premières subsisteront, si cl est positif, et les deux dernières, si et est négatif. Voyons maintenant à quoi se réduisent dans ces deux hypothèses les formules (1) et (9).
Si d’abord on suppose cl positif, les équations ( 1 6) pourront être remplacées par les équations ( 1 4 ) ; et l’on déduira de celles-ci une infinité de valeurs ‘de 6 , parmi lesquelles on doit remarquer la suivante
Lorsqu’on fait usage de cette valeur, les formules(i) ot (9) deviennent respectivement
(17) cL-4-£}A-i =j»(cos. £-4--j/— 1 sin. £) ,
.(l 8) ((ct-t-Cj/— 1 (cos.a £-+-}/— i sin.tf £)
Si l’on suppose en second lieu et négatif, les équations (10) pourront être remplacées par les équations (1 5), desquelles on déduira, entre autres valeurs de 8,
Par suite , on pourra, dans cette hypothèse, aux formules (1) et (9) substituer celles qui suivent,
(20) et-t-C )/— 1 = — j> (cos. £-4- p'— 1 sin. £) ,
= s>‘ [cos. (a£ -4- air ) -1- sin.(a( -4- air)] ((i))*
— S* (cos.a£-4--/ZrTsin.a£) (cos. aT-4-y/’II7sin.aT)
Si l’on fait en particulier et -4- C ÿ'^î = — i , c’est- TOM. 1. P
226 • cours d’analyse.
à-dire , a, = — 1 , £ = o , on trouvera
£ = arc tang. ) = O ;
et la formule (21) deviendra
(2 2) ((— I Jf = (cos. <Z7T -+- y1'—' sin. av r) (( 1 )}*.
H en résulte qu’on aura généralement dans l’hypothèse admise
(23) ))'=/ (cos.a^-t- /-Tsin.a^) ((- 1 ))'.
En réunissant aux formules (17), (18), (20) et (23) les équations (25) et (26) du 3.* paragraphe, on obtiendra définitivement les conclusions suivantes.
' «Soit <t-t-Gj/~ 1 une expression imaginaire quelconque, a une quantité positive ou négative dont la valeur numérique soit fractionnaire , et k un nombre entier choisi arbitrairement. Si l’on fait, de plus ,
(*4) / = '/(<*'*-+• £*) > Ç= arc tang. ,
on aura , pour des valeurs positives de et ,
Ict -+• G Ÿ'—' = f ( cos. £-+- 1^— Tgin. Ç) ,
((ct-hG =/ (cos .a j/^Tsin.a £) (( I ))' , ((l))a = cos. 2 X' a 7T =t sin. 2 Xott ;
et , pour des valeurs négatives de et ,
Iet -t- C /-> = —/ (cos. £-t- |/-7 sin. Q 71?
((ct-i-C =/' (cos.C^-/rr sin.a^ ((— 1))'! ?
((— 1 ))'=c«>s.(2^-+- 1 ,a7r)±/^7 sin.(2X--+-i.a'?r).
On doit ajouter que, si l’on désigne par n le dénominateur de la fraction ia plus simple qui représente la valeur numérique de a, n sera précisément le nombre des valeurs distinctes de chacune des expressions
et que , pour déduire ces mêmes valeurs des formules (25) et (26), il suffira d’y substituer successivement, au lieu de zk et de zk-+- 1 , tous les nombres entiers qui ne sortent pas des limites o et n. •
Si la valeur numérique de a devenait'irrationnelle , chacune des expressions réduites
cos. 2 k a 7T ± j/— 1 sin. zka.'K y
cos. (2Æ-+-I .Û7r) ± Y~\ sin. ( 2^-t- 1 .fl7T ) , .
aurait un nombre indéfini de valeurs correspond dantes aux diverses valeurs entières de k ; et , par suite, on ne pourrait plus admettre dans le calcul les notations
à moins de considérer chacune d’.elles comme propre à représenter une infinité d’expressions imaginaires
