t cours d’analyse

distinctes les unes des autres. Pour éviter cet inconvénient , nous n’emploierons jamais les notations dont il s’agit que dans le cas où la valeur numérique de a sera fractionnaire.

Parmi les diverses valeurs de ((i))% il en est une toujours réelle et positive, savoir, i , que l’on indique par la notation (i)J ou i", en faisant usage de parenthèses simples , ou même les supprimant entièrement. Si l’on substitue cette valeur particulière de ((i))*' dans la seconde des équations (25), on obtiendra une valeur correspondante de

<jue l’analogie nous porte à indiquer, à l’aide de parenthèses simples, par la notation

Cest ce que nous ferons désormais. Par suite , on aura, en supposant au positif, et les quantités f , £ déterminées par les équations (24).

(27) (cH-Cj/— 1 y = (cos. y sin. Æ^).

Cette dernière équation ayant lieu toutes les fois que la valeur numérique de a est entière ou fractionnaire, l’analogie nous conduit encore à la considérer comme vraie dans le cas où cette valeur numérique dpyient irrationnelle. En conséquence , nous conviendrons de désigner par

le produit y»' [cos.'a(^ -+- j/~T sin. <ï£] , dans le cas où c e sera positif, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la quantité a. En d’autres termes , si \

l’on désigne par £ un arc compris entre les limites

— ^ , on aura , quel que soit a ,

[y5 (cos. y —i sin.(^)]“ = f>" (cos.a^~H|/— i sin. a£).

Si dans 1 équation précédente on fait y> = i , elle deviendra

(28) (cos. C-/-- 1 sin. Çy — cos .a Ç-*-y-' sin-aC*

Cette dernière formule est entièrement semblable aux équations (xo) et (i/J) du 2.e paragraphe, avec cette seule différence quelle subsiste uniquement pour des valeurs de £ comprises entre les limites

— , -h — , tandis que les équations dont il s’agit

s’étendent à des valeurs quelconques de 9.

Lorsque la quantité ce devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de a, quelle est celle des valeurs de l’expression ((ce-x-€j/— i))° que l’on pourrait distinguer des autres et désigner par la notation

(ce -+- ç> y~ 1 y.

Mais alors, — ce étant une quantité positive, il est facile d’établir, pour des valeurs quelconques de a, la formule

(29) (—ce — (cos. ff 1 sin.a^).

230 cours d’analyse.

Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que , dans le cas où la valeur numérique de a devient fractionnaire , les formules (27) et (29) réduisent les équations (18) et (23) à celles qui suivent ,

(3 1 ) ((*'-*-£}/-'))* — (-cc—C]/-')1’ ((— 1 ))' t

téquation (30) ayant lieu seulement pour des valeurs positives de la quantité et, et l’équation (31) pour des valeurs négatives de la même quantité.

J. 5.* Applications des principes établis dans les paragraphes précédens.

Nous allons appliquer les principes établis dans les précédens paragraphes à la résolution de trois problèmes sur les sinus et cosinus.

l.er PROBLÈME. Transformer sîn. mz et cos .mz ( m désignant un nombre entier quelconque ) en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de sin. z , ou du moins en un produit formé par la multiplication d’un semblable polynôme et de cos z.

Solution. Lorsque dans les équations (1 2) du