TT

Les équations (i) et (2) comprennent évidemment la solution de la question proposée. Il ne reste plus qu à les présenter sous la forme la plus simple. Pour y parvenir , il sulfira d observer que le coefficient de chaque puissance entière de sin. z renferme généralement une somme de fractions à laquelle l’équation (5) du chapitre IV [§. 3] permet de substituer une fraction unique. Par suite de cette réduction, les développerons de 00 s,mz et de sin .tnz deviendront , pour des valeurs paires de r n,

cos. m.z= 1 - — sin.1 Z -t- frH:»? sin+

0){. . "a . 1 (ro+4) (m+2) .m.m (m~z) (m—A) . ^ •

—jTTÏ.yà sin- ,

sin. VIZ cos. Z [-=- sin. Z - i&Zi? 6jn>3 -z , (»»+4) (m+2) m (m— 2) (m— 4) . , ' ‘ „

■ * r7TJ.4.j sm. t &C...J ;

et , pour des valeurs impaires de m , . . ■

cos

(»”+3)(rt+') ("*-0 ^-^.Lcin + B — ,

sm. mz — — sin. Z — s,n* M

. (>"+3 )(”« + ')"»(CT-0.(’B-lL sin.J.a - &Cf...

Corollaire i.'r Si dans l’équation (3) on fait successivement

on obtiendra les suivantes

cos. 2 Z — I — 2 sin.’ Z , cos. 4 Z — I — 8 sin.’z -+- 8 sin. Z ,

. 6 -S — I — 18 sin.’.3 -I- 48 sin.+£ — 3 ~ s*11

cos

Corollaire z.‘ Si dans l’équation (6) on fait successivement

on en tirera < .

sin. Z — sin. Z ,

, sin. 7 Z = 7 sin. Z — 4 s’n-3 2 >

sin. 3 5 = 5 s'n* 2.0 sin. 5 -H 1 6 sin. Z f

234 cours d’analyse.

2/ Problème. Transformer sin. mz et cos.** ( m désignant un nombre entier quelconque J en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de cos.*, ou du moins en un produit formé par la multiplication d’un semblable polynôme et de sin. z.

Solution. Pour obtenir les formules qui résolvent la question proposée, ii suffit de remplacer, dans les équations (3), (4)> (5) et (6), z par

— — z, et d’observer en outre qu’on a, pour des valeurs paires de m ,

cos. i —

— mz\ — ( — 1 )"» cos. mz , Sin. — TOZ^ = ( — i)»** sin. 1H Z / et , pour des valeurs impaires de m ,

f n>ir \ / \ m~' .

cos. 1 — mz \ = ^ — 1 sin. mz

(mir \ / * \ m~l

~ mz)=(— 1) ,

cos. mz.

On trouvera de cette manière , si m est un nombre pair ,

( • — I ) “ cos. mz — I cos. Z-H v — cos. Z

— ; J COS. a* “T" VXV.Mt 1

]J* sin.TBZ— sm.? j^— cos. Z ITT-} co*- ■*

cos. *v — ,

et , si m est un nombre impair ,

^ — 1 J~T~ sin. mz = sin.Z I —

ns

cos. Z

. , (,H-i)(»+0(^0 0^j)col *z __&c. 1

( — I ) T~ cos. mz = —

cos. Z COS. Z

(m-H)(r*+Om(m-')rm— ’>) __ 5„

COS