cos
Corollaire i.'r Si dans la formule (9) on fait successivement
m = 2 , m = 4 , m — 6 1 &c. . . . , on obtiendra les suivantes
— COS. 2 z — 1 — 2 cos. * z , t .
COS. 4z=i — 8 cos. * Z -+- 8 cos.+5 ,
— cos. 6z= 1 — I 8cos.*ZH-48cos.+,5 — 32cos.*5,
Corollaire 2/ Si dans l’équation (12) on fait successivement
m ~ 1 , m — ■$ , m = $ , &c. . . . , on en conclura
COS. Z — cos. Z , i
— cos. j Z — j COS. Z 4 OOS .3Z ,
COS. $Z = f COS. 5 20 COS. *.3 -+• 16 CO s.5 Z ,
236 s cours d’analyse. :
3* Problème. Exprimer les puissances entières de sin. z et de cos. z en fonction linéaire des sinus et cosinus des arcs z, zz , 3 z , &c.
Solution. On résout facilement ce problème, en ayant egard aux propriétés des deux expressions imaginaires conjuguées
cos. z -+■ ÿ'—' sin. S , cos. Z — ]/— 1 sin. Z.
Si r on désigne la première par u, et la seconde par v , on aura • * • , '
2 cos. Z — U -t- V , '
2 sin. 2/-1 i:!( — V.
En élevant les deux membres de chacune des équations précédentes à la puissance entière du degré m, les divisant ensuite par 2 ou par 2 j/— r , puis effectuant les réductions indiquées par les formules
= cos. n z
, ==- — sin. nZ ,
dont les deux dernières subsistent pour des valeurs entières quelconques de », on trouvera, si ni représente Un nombre pair ,
2 cos.* z — cos. ni z h cos. [m — 2 .z')
cos. {.ni —
( — I ) * a si n.mZ = cos. mz — cos. (ni — 2.z)
{i6)l . -H ?s.?r.'2 cos, (m-4.z)-&c..
et , si m représente un nombre impair ,
2 cos. «S == COS. 771 Z -i — cos. {771 — 2 . Z J
H — - cos. [771 — 4.* )+&€..
H cos. Z ,
TJ— 1 '
( — i) » 2 sin.mZ — sin.mz — -sin.(?» — 2 . z)
-H m(im~ -)-sin- (^r=7|.^)-&C..
— I — — — cin ÎT
sin.
Corollaire i.tr Si dans la formule (15) on fait successivement
m = 2 , m = 4 > m = 6 , &c. . . . , on en conclura
2 cos. *2 = cos.2Z-t-I ,
8 COS.*Z — COS. 4* ■+* 4cos.2Z-t-3 ,
13 2 cos.fi.
'z zz cos.6 î ■+• 6 cos. 4* ■+■ I < cOS.2Z-+~IO .
238 cours d’analyse.
On arriverait aux mêmes équations, si l’on cherchait à déduire des formules (13) les valeurs successives de
COS. COS. Ai p COS. Ai p &C. ■ . ■
en fonction linéaire de
COS. 2 Z't COS. 4 -3 J COS. 62, &C. . . .
Corollaire 2/ Si dans la formule (16) on fait successivement
m = 2 , m = 4» tn — 6 , &c ,
on obtiendra les équations
I— 2sin.*Z — cos. 23 — I ,
8 sin.+3 = cos./±Z — Acos.ZZ-*-] ,
— 32sin/z = cos.6z — 6cos.4^-t-I Jco s.23 — 10 , &C. . . .
que l’on pourrait également déduire des formules^), par l’élimination des quantités
sin.*3, sin.*3, sin .6Z, &C
Corollaire Si dans la formule (17) on fait successivement
m — 1 , m — 3 , ct — 5 , &c. K on en conclura
COS. Z — cos. Z ,
4 COS.3 Z — cos. 3 Z -+- 3 cos. Z , l 6 COS J Z — cos. J Z il-. $ Ç0$. 3 Z -t- I O COS .Z ,
On arriverait aux mêmes équations, si ion cherchait à déduire des formules ( 1 4 ) les valeurs successives de
cos .Z, cos ?z, cos }z, &c. . . .
en fonction linéaire de
COS. Zf cos. 3 Z, COS. J Z, &c. . . •
Corollaire 4.* Si dans la formule (18) on fait successivement
m = I , 771 = 3, 77ï=5, &c. . . . , on obtiendra les équations
sin. Z — sin. Z ,
— 4 s*n-3 z — sin. 3 Z — 3 sin. Z ,
1 6 sin/ Z — sin. $Z — J sin ; /^Z -4- I O sin. Z ,
que Ion pourrait également déduire des formules (8) par i 'élimination des quantités
sin.£, sin ?Z, sin Jz, &c
240 COURS d’a.nalyse.
