CHAPITRE VIII

Des Variables et des Fonctions imaginaires.

J. l.*r Considérations générales sur les Variables et les Fondions imaginaires.

Lorsqu’on suppose variables les deux quantités réelles u , v , ou au moins l’une d’entre elles l’expression

est ce qu’on appelle une vaiiable imaginaire. Si, de plus, la variable u converge vers la limite U , et la variable v vers la limite V,

u -h vy~

sera la limite vers laquelle converge l’expression imaginaire u- t-vy'—i.

Lorsque les constantes ou variables comprises dans une fonction donnée, après avoir été considérées comme réelles , sont ensuite supposées imaginaires , la notation à l’aide de laquelle on exprimait la fonction dont il s’agit 11e peut être conservée dans le calcul qu’en vertu de conventions nouvelles propres à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse. Ainsi , par exemple , en vertu des conventions établies dans le chapitre précédent ,

les valeurs des notations

CL "h JC p Cl *2? ; CL JC j x~ t

se trouvent complètement déterminées dans le cas où la constante a et la variable x deviennent imaginaires. Supposons, pour fixer les idées, que, la constante a restant réelle , la variable x reçoive la valeur imaginaire .

cC -+- G y/— i = j> (cos. 0 j/— i*sin. 0) ,

<t, G exprimant deux quantités réelles qui peuvent être remplacées par le module f et l’arc réel 0. , On conclura du VH.® chapitre [ §§. i et 2] que les quatre notations

a-k-x, a — x, ax, —

désignent respectivement les quatre expressions imaginaires

a-*-y»cos.0-l--y>sin.0.j/^7 , a — ÿ cos.0 — j> sin.O.j/— i , a f cos.0 -4-af sin.0 .)/— ■ , ~ cos.0 — -^-sin.O.j/— 1 J ou , en d’autres termes , les suivantes

a+et-hCy/— 7 , a—ct—C y/=7 , att-^-aC / ~i , ~ Y~i .

En général on fixera sans difficulté, par le moyen des principes établis dans le chapitre VH, les valeurs des expressions algébriques dans lesquelles Tom. 1. a

242 COURS d’analyse,

plusieurs variables ou constantes imaginaires seraient liées entre elles par les signes de l’addition , de la soustraction , de la multiplication ou de ta division ; et l’on reconnaîtra sans peine que ces expressions conservent toutes les propriétés dont elles jouiraient , si les variables et constantes qui s’y trouvent comprises étaient réelles. Par exemple, si l’on désigne par