U, V , IV
plusieurs variables soit réelles , soit imaginaires , on aura, dans tous les cas possibles ,
xy — yx,
«(x-4-y-t-Z-H ...) =MX-4-My-+- WZ-+-&C... ,
u v Uf u 9 w . .. , 1
vx V
Considérons maintenant la notation
dans le cas où, la constante a restant réelle, la variable x obtient la valeur imaginaire
a -t- £-/-i = f (cos. ô ■+- **n*
Si l’on prend pour a une quantité dont la valeur numérique soit un nombre entier m, cette même notation, savoir,
aura , pour des valeurs réelles quelconques de ce et de C, une signification précise. Elle représentera l’expression imaginaire
ÿm cos. OT0 -t- fm sin. 7«ô . j/— i ,
si a = -+- m ; et la suivante
f>~m cos. mô — f~m sin. ff»9. ]/— I ,
si a = — m: [voyez le chapitre VII, §. 2, équations (18) et (19)]- Mais, toutes les fois que la constante a recevra une valeur numérique fractionnaire ou irrationnelle , la notation
n’aura plus de valeur précise et déterminée , à moins que la partie réelle ce de l’expression imaginaire x ne soit positive. Si dans ce cas particulier on fait
Ç = arc tang. — ,
l’arc £ restera compris entre les limites — — y ;
et, en écrivant x au lieu de ce-v-Cy/— 1 dans le 4-e paragraphe du VH.* chapitre [équations (17) et (27)], on trouvera
X — ÿ (cos. £-+- }/— 1 sin. Ç) ,
X* = f* [cos. I sin. ,
214 cours d’analyse.
en sorte que la notation af désignera l’expression
imaginaire
f>‘ cos. a^-+- J>" sin . a ■}/— i .
Il suit encore des conventions et des principes cidessus établis [chap. VII, §§. 3 et 4], que, pour une valeur numérique fractionnaire de la constante a, la notation
représente à-la-fois plusieurs expressions imaginaires, dont les valeurs sont données par les deux formules
= ^((i))*, ((i)y= cos. ikciTC rh |/— I sin.2/-a7T,
lorsque la partie réelle cl de l’expression imaginaire x est positive, et par les deux suivantes
(( — i))" = cos.(2^-+-i)a7r ± ÿ'~' sin. ,
lorsque la quantité c i devient négative ; [voyez à ce sujet, dans le 4-e paragraphe du chapitre VII, les équations (25) et (26)]. La même notation ne peut plus être employée dans le cas où la valeur numérique de a devient irrationnelle.
Les expressions de la forme
conservent les mêmes propriétés pour des valeurs réelles et pour des Valeurs imaginaires de la variable , tant que l’exposant a pour valeur numérique
un nombre entier ; mais ces propriétés ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas contraire. Soient , par exemple ,
x~a,-\r-Ç, j/— >, y—ou-i-Q'y'—i , ■ , Sic...
plusieurs expressions imaginaires, qui se réduiront à des quantités réelles, si £, £', Ç>" s’évanouissent. Désignons, en outre, par a, b , c . . . des quantités réelles 'quelconques , dont les valeurs numériques soient fractionnaires ou irrationnelles, et par m, m, m" . . . plusieurs nombres entiers. On aura constamment, en vertu des principes établis dans le VIL* chapitre ,
w % iv • «V • • •
fcv • it- • tt/ • •
*** • • tv • •
jç±m±m '±771 ",
1 • • ( chacun
des nombres m, m , m" . . .
dans les deux membres);
devant être a (Te etc du
même signe
(xy z ...
(xyz ....
} pi 1
On trouvera au contraire que des trois formules
(5) Xa Xh Xe ‘ " = Xa*Ue * ' ’ • ,
(6) xa ya - ( X1JZ....Y ,
24G cours d’analyse.
ïa première subsiste uniquement toutes les fois que la partie réelle et de l’expression imaginaire x est positive; la seconde, toutes les fois que, et, et', et" ... étant positifs, la somme
arc tang. — - -H arc tang. —r -4- arc tang. — — -4- . . *
.. a cl 0 et
reste comprise entre les limites — — , ; et la
dernière, toutes les fois que, et étant positif, le pro^ duit
a . arc tang. —
est compris entre ces mêmes limites. .
Les conventions faites dans le VII.e chapitre ne suffisent pas encore pour fixer d’une manière précise le sens des notations
A , Lx , sin. j:, cos. X p arcsin..r, arc cos. X,
dans le cas où la variable x devient imaginaire. Le moyen le plus simple d’y parvenir étant la considération des séries imaginaires , nous renvoyons ce sujet au chapitre IX.
D’après ce qui a été dit ci-dessus , toute notation algébrique, qui renfermerait, avec les variables x> y , z .... supposées réelles , des constantes imaginaires , ne peut être employée dans le calcul que dans le cas où , en vertu des conventions établies ,
■ elle aurait pour valeur une certaine expression ima-
ginaire. Une semblable expression , dans laquelle la partie réelle et le coefficient de j/-T sont nécessairement des fonctions réelles des variables x , y, z ... , est ce qu’on appelle un e fonction imaginaire de ces mêmes variables. Ainsi , par exemple , si l’on désigne par <p(,r) et %(#) deux fonctions réelles de x, une fonction imaginaire de cette variable sera
<?(•*)-*- xG*) Z-7-
Quelquefois nous indiquerons une semblable fonction à l’aide d’une seule caractéristique -sr , et nous écrirons en conséquence
Pareillement, si Ton désigne par <p(.r, y, z ....), y(x, y, z ....) deux fonctions réelles des variables x, y, z ,
y, z...) = Q(x, y, z ...) -t- y{x> ÎJ> *•••)
sera une fonction imaginaire de ces diverses variables.
La fonction imaginaire
q> (x, y, z ...) -+- y(x, ij, z ...) /-T
prend le nom de fonction algébrique , ou exponentielle, ou logarithmique, ou circulaire, &c... , et, dans le premier cas, le nom de fonction ration- • nelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, 6cc.., toutes les fois que fes fonctions réelles <p(x, y, z ...), X(.r, y, z ...} jouissent l’une et l’autre des proprié^s
248 cours d’analyse.
que suppose le nom dont il s’agit. Ainsi, en particulier , la forme générale d’une fonction imaginaire et linéaire des variables x, y, z . . . . sera
(a-\-bx-\-cy-\~dz-^. ..)-+-(« '-\-b' x-\-dy->rdz->r. . .)]/~ ,
ou, ce qui revient au même,
ô-fr-fl j/ — i — I— ( A — i— A y/ — i )x-+-(c-Hc y/ — i y/ — i )sH-Stc. ,
a, b, c, d, ... à , b' , c , d’ , . . . désignant des constantes réelles.
On doit distinguer encore parmi les fonctions imaginaires , comme parmi les fonctions réelles , celles qu’on nomme explicites, et qui sont immédiatement exprimées au moyen des variables, de celles qu’on nomme implicites, et dont les valeurs déterminées par certaines équations ne peuvent être explicitement connues qu’après la résolution des équations dont il s’agit. Soit
'sr(.r) ou '&(x, y, z, ...)
une fonction imaginaire implicite déterminée par une seule équation. On pourra représenter cette fonction par m-huj/— i , u , v désignant deux .quantités réelles; et, si dans l’équation imaginaire qu’elle doit vérifier on écrit, au lieu de -zy ( .r ) , ou de ^{x, y, z, ...),
Il -H V ,
après avoir développé les deux membres, puis égalé de part et d’autre les parties réelles et les coefficiens
de j/^ï , on obtiendra deux équations réelles entre les fonctions inconnues u et v. La résolution de ces dernières équations, lorsqu’elle pourra s’effectuer, fera connaître les valeurs explicites de u et de v, et par suite la valeur explicite de l’expression imaginaire
Pour qu’une fonction imaginaire d’une seule variable soit complètement déterminée, il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois , pour chaque valeur de la variable , la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions précédemment admises, nous désignerons ordinairement ces valeurs multiples d’une fonction imaginaire par des notations dans lesquelles nous ferons usage de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi, par exemple,
v/ cos. Z ■
< sin. z
OU
(( cos. Z -+* ]/— i sin. 2)) ”
indiquera l’une quelconque des racines du degré n de l’expression imaginaire ' . ■
cos. Z -+- y'—’ sin. Z.
COURS d’analyse.
J. 2.' Sur les Expressions imaginaires infiniment petites y et sur la continuité des Fonctions imaginaires.
Upe expression imaginaire variable est appelée infiniment petite , lorsqu’elle converge vers ja limite zéro ; ce qui suppose que dans l’expression donnée la partie réelle et le coefficient de convergent en même temps vers cette limite. Cela posé , représentons par
et -+- C ÿr-~' — f (cos. 9 -+- sin. 9 )
une expression imaginaire variable; et, C, désignant deux quantités réelles , auxquelles on peut substituer le module j> et l’arc réel 9. Pour que cette expression soit infiniment petite , il sera évidemment nécessaire et suffisant que son module
soit lui-même infiniment petit.
Une fonction imaginaire de la variable x supposée réelle , est appelée continue entre deux limites données de cette variable, lorsqu’entre ces limites un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Il en résulte que la fonction imaginaire
(* ) *+■ % («*) Visera continue entre deux limites données de x , si
les fonctions réelles Cp(.r) et ^(x) restent continues entre ces limites.
On dit qu’une fonction imaginaire de la variable x est, dans le voisinage d’une valeur particulière de x, fonction continue de cette variable, toutes les fois quelle reste continue entre deux limites même trèsrapprochées, qui renferment la valeur dont il s’agit.
Enfin , lorsqu’une fonction imaginaire de la variable x cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de cette variable , on dit quelle devient alors discontinue , et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.
En partant des notions qu’on vient d’établir relativement à la continuité des fonctions imaginaires , on reconnaîtra facilement que les théorèmes i , 2 et 3 du II.e chapitre [§. 2] subsistent dans le cas même où l’on remplace les fonctions réelles
f{x) et f(x, y, z....)
par des fonctions imaginaires
et <p(x, y, z.^^jx, y, 2...)/=T.
On peut en conséquence énoncer les propositions suivantes.
1.*' THÉORÈME. Si les variables réelles .r, y, z ... ont pour limites les quantités fixes et déterminées x, Y, Z ... y et que la fonction imaginaire
soit continue par rapport a chacune des variables
*, y, z ... clans le voisinage du système des valeurs particulières
x — X, ij — Y , z — Z, &c
aura pour limite
<?(x, y, Z,...) + X(X, r,z,...)/rr;
ou , si l on fait , pour abréger ,
y> z> •••) aura pour limite m [x, Y, z, ...).
2.e Théorème. Désignons par à, y, x ... plusieurs fonctions réelles de la variable t , qui soient continues par rapport a cette variable dans le voisinage de la valeur réelle t ■=. t. Soient de plus
x, y, z ... les valeurs particulières de x, y, z
correspondantes a t ~t ; et supposons que dans le voisinage de ces valeurs particulières la fonction imaginaire
soit en même temps continue par rapport à x, par rapport à y, par rapport a z, &c... : * [x, y> z ...), considérée comme une fonction imaginaire de t , sera encore continue par rapport à • t , dans le voisinage de la valeur particulière t — T.
Si dans le théorème précédent on réduit les va- 1 iables x, y , z ... à une seule , on obtiendra l’énoncé suivant.
