Théorème. Supposons que dans F expression

-ar (*) = <p (x) -+-%(•*).

la variable x soit fonction réelle d’une autre variable t. Concevons de plus que la variable x soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particulière t—T, et {x) fonction contmue de x dans le voisinage de la valeur particulière x = x, correspondante à t=T. L’ expression imaginaire *(x), considérée comme une fonction de t, sera encore continue par rapport h cette variable dans le voisinage de la valeur particulière t=T.

J. 3.' Des Fonctions imaginaires symétriques , alternées , ou homogènes.

En étendant aux fonctions imaginaires les définitions que noys avons données [chapitre III] des fonctions symétriques, ou alternées, ou homogènes de plusieurs variables x, y, z ... , on reconnaît immédiatement que

est une fonction symétrique, ou alternée, ou homogène du degré a par rapport aux variables x, y, z..., lorsque les fonctions réelles

q>(x,y, z ...), x{x>y>z‘-) sont Tune et l’autre symétriques, ou alternées, ou

254 cours d’analyse.

homogènes du degré a par rapport à ces mêmes variables.

4.c Sur les Fonctions imaginaires et entières d’une ou de plusieurs variables.

En vertu de ce qui a été dit ci-dessus [J. Her] ,

et

sont deux fonctions imaginaires et entières, l’une de la variable et, l’autre des variables x,y, z ..., lorsque

<J)(x)et <p(x,y,«...)et^(x,y,*...)

sont des fonctions réelles et entières de ces mêmes variables. Par suite, si •ar(.r) représente une fonction imaginaire et entière de la variable x, la valeur de tsr (x) sera déterminée par une équation de la forme

'Gr(x) = <$ (x) 1/^

—a0+alx-4-a1xt-i-...-+-(bB-+-ltlx-*-bxx*-4-...) j/^7 ,

<*c a,, oxi — b0,bt, bt,... désignant des constantes réelles. On conclura de cette équation , en réunissant les coefliciens des puissances semblables de x,

^1) <ar(j)=(a0-|-è0y/ZT)-f-(at-t-4lV/^7)x-H(a1-t-6jl/~l')x1-4-&c...

Pour que la fonction -ar (x)j déterminée par la for-

mule précédente , s’évanouisse avec x, il faut que l’on ait

aQ •+* bQ = o ,

c’est-à-dire, «0=o et b0 — o, auquel cas la valeur de 'zsr (x) se réduit à

= x[al-rbl }/— • -*-{&x-*-bt y'— 7).r -t-&c....].

Ainsi , toute fonction imaginaire et entière de la variable x , lorsqu’elle s’évanouit avec cette variable , est le produit du facteur x par une seconde fonction de la même espèce , ou , en d’autres termes, est divisible par x. En partant de cette remarque , on étendra facilement les théorèmes i et 2 du chapitre IV [§. 1.“] au cas où les fonctions entières qui s’y trouvent mentionnées sont en même temps imaginaires. J’ajoute que ces deux théorèmes subsisteront encore , si l’on y remplace les valeurs particulières et réelles attribuées à la variable x , telles que

X0} Xt, Xx, &c

par des valeurs imaginaires

Pour démontrer cette assertion , il suffit d’établir les deux propositions suivantes.

l.er Théorème. Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s évanouit pour une valeur

256 cours d’analyse.

particulière de cette variable , par exemple , pour

x — cta -+- C0 •/— ■ ,

celte fonction sera divisible algébriquement par x — et, — C, ■/— i .

Démonstration. En effet, soit

'ar{x) = Q{x) + x{x)V~'

la fonction imaginaire dont il s’agit. Si l’on y fait

X — CL0 -+- C0 ■/— i Z ,

z désignant une nouvelle variable , on obtiendra évidemment pour résultat de la substitution une fonction imaginaire et entière de z , savoir ,

“zr (*-„■+- z) :

et , comme cette fonction de z devra s’évanouir pour z — o , on en conclura que

,'zs’ (#) == -ar (et. -t- C, ■+■ z)

est divisible par

fi , — • jÛOJ

z = x — et, — y— i.

Corollaire i.,r La proposition précédente subsiste dans le cas même où la fonction ^(x) s’évanouit, c’est-à-dire, dans le cas où 'ar{x) se réduit à une fonction réelle Cp(x).

Corollaire 2 / Le théorème précédent subsiste encore, lorsqu’on suppose £=o , et par conséquent lorsque la valeur particulière attribuée à la variable x est réelle.

2.* THÉORÈME. Si une fonction imaginaire et entière de la variable x s’évanouit pour chacune des valeurs particulières de x comprises dans la suite

c('0-hGoy'—ï , et, -i- i , et, -t- C, > • • •

n désignant un nombre entier quelconque , cette fonction sera équivalente au produit des facteurs

x •“ ctQ o y/ ”i i x et J “C i i » x ■••Cj ^ f &c. . « •

par une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x.

Démonstration. Soit

-ar (x) =-<p (x) ^ (x)

la fonction proposée. Comme elle doit s’évanouir pour

X = CL0 -t- £0 /“ ,

elle sera, en vertu du théorème !.*% algébriquement divisible par

X — <ta — £0 yCT ;

et Ton aura en conséquence

(2) -ar (x) = (x — ct0 — C„ y/~) Qa ,

O» désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x. La fonction -ar(x) devant