X — CC, -H G
cette supposition réduira nécessairement à zéro le second membre de l’équation (2) , et par conséquent ' l’un des deux facteurs qui le composent [ voyez le VH.* chapitre, §.2,7.* théorème, corollaire 2]. De plus, comme le premier facteur
ne peut devenir nul pour
x — cl, ■+- Ç, y' — 1 , *
tant que les valeurs particulières
sont distinctes l’une de l’autre, il est clair qu’en attribuant à x la seconde de ces deux videurs on devra réduire à zéro la fonction entière Q0 , et par suite , que cette fonction entière sera divisible algébriquement par
x — cl, — C,
On aura donc
Q0 — (x — et, — C, -/-l) Q, ,
Q désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable x; en sorte que l’équation (2) pourra se mettre sous la, forme
En raisonnant comme on vient de le faire , on trouvera, i.° que, la fonction -zr (.r) devant s’évanouir en vertu de la supposition
x — ce, Ç>x ,
cette supposition réduit nécessairement à zéro le second membre de l’équation (3) , et par conséquent l’un de ses trois facteurs; a.° que le facteur réduit à zéro ne peut être que la fonction entière Qt , tant que les trois valeurs particulières de x désignées par
û'o ■+• C Y~ 1 » V~* » ct* ■+■ Y~ 1
sont distinctes l’une de l’autre ; 3 .° que la fonction entière Qt , devant s’évanouir pour
x = ctl h- C, /“ ,
est algébriquement divisible par
X — CLX — Cx y'— 1 .
On aura par conséquent
Qt = (x — 6, Y~x) Q, ,
et par suite
(4) ’^{x)=(x—aQ—Ctly/Z7) (x— et,— £ ,yC7) {x~a.x—Ç xy~) Qx >
Qx désignant encore une fonction imaginaire et entière de la variable x. En continuant de la même manière, on finira par reconnaître que, dans le cas où la fonction entière <sr(x) s’évanouit pour n valeurs différentes de x respectivement désignées par
' COURS d’analyse. \
oV~~l y Y”1 > <*•»-*"£» V~* » &«•••
rf-n-i *+■ £»— /=: *
on a nécessairement
-ar(j) =(x— «o— £ 0y/Z7)*(x— — i )*••
Q désignant une nouvelle fonction entière de la variable x.
II est à-peu-près inutile d’observer que le théorème précédent subsiste lorsqu’on suppose
ou bien
C0~ O , C, — O , Ct — O , .... — O j
c’est-à-dire , lorsque la fonction 'srÇx) , ou les valeurs particulières attribuées à la variable x, deviennent réelles.
A l’aide des principes établis dans ce paragraphe , on démontrera sans difficulté que, dans le chap. IV [ §. i .er] , les théorèmes 3 .* et 4 e avec la formule ( 1 ) peuvent être étendus au cas où les fonctions et les variables deviennent imaginaires, ainsi que les valeurs particulières attribuées aux unes et aux autres. On prouvera de même que les propositions 1 .re , 2.e et 3.% avec les formules (1) et (2), dans le second paragraphe du chapitre IV , et les formules ( 2 ) , (3) , (4), (5), . (6) , dans le 3 / paragraphe du même chapitre , subsistent , quelles que soient les valeurs
réelles ou imaginaires des variables, des fonctions, et des constantes. Ainsi, par exemple , on reconnaîtra en particulier que iequation (6) du 3 paragraphe , savoir , /
( (*-Hy)" x11 , *"-« y
a lieu pour des valeurs imaginaires quelconques des variables or et y.
J. 5.* Détermination des Fonctions imaginaires continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions. ... ...
Soit t
<ar (x) = <j> (x) /“ x (*)
une Fonction imaginaire continue de la variable x, Cj>(.r) et xix) désignant deux fonctions continues , mais réelles. La fonction imaginaire -zr ( .r ) sera complètement déterminée, si elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x et y , l’une des équations
(1) -sr (.r h- y) = -nr (x) ^ (y) ,
(2) -sr(j:-+-y) = -sr(.r) x -zîr(y) ;
ou bien , pour toutes les valeurs réelles et positives des mêmes variables, l’une des équations suivantes
262 cours d’analyse. » '
(4) •& {xif) = -or (x) x -ar (y).
Nous allons résoudre successivement ces quatre équations, ce qui nous fournira quatre problèmes analogues à ceux que nous avons déjà traités dans le 1 ." paragraphe du V.e chapitre.
l.er Problème. Déterminer la fonction imaginaire *r (a?) de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l’on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y,
(1) + = « r (ir) -h -sr (y).
SOLUTION. Si , à l’aide de la formule
'Gr(x)-q>(x) + x{:v)V-'>
on remplace dans I équation (1) la fonction imaginaire *ar par les fonctions réelles c}> et cette équation deviendra
9 (*+yH-X = 9 0*3 +x(*) ■+■ 9 Cs/H-x (y) V~ '
puis l’on en conclura, en égalant de part et d’autre les parties réelles et les coefficiens de j/^î ,
On tirera de ces dernières formules [ voyez le chapitre V, §. 1 , 1 .*r problème]
<?>(•*) = or<f>(i) ,
et par suite
ou , ce qui revient au même , i ; > - • •
(6) «ar (j?) = x -sr ( 1 ).
Il suit de l’équation (5) que toute valeur de ■ar(.r) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme .
(7) «“W = (a + by/~i)x ,
a, b désignant deux quantités constantes. II est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur de -ar(.r) vérifie l’équation (1), quelles que soient les deux quantités a et b. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.
On peut remarquer que , pour obtenir la valeur précédente de '&(#), il suffit de remplacer, dans la valeur de <p(x) que fournit l’équation (7) du V.* chapitre [§. i.er], la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire , mais imaginaire ,
2.' Problème. Déterminer la fonction imaginaire 'or de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l’on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables x et y ,
264 C0URJ5 d’analyse.
(2) ‘ar(x+y) = -ar (x) , -sr (y).
SOLUTION. Si dans i équation (2) on fait x=o,
on en tirera
ou , ce qui revient au même [à cause de la formule *sr(x) = Cp(x)-H XW/^].
et par suite
La fonction d> (x) se réduira donc à Funité pour la valeur particulière o attribuée à la variable x ; et, puisqu’on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair quelle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière , très-peu différente dê l’unité, par conséquent positive. On pourra donc, en désignant par a, un nombre très -petit, choisir ce nombre de manière que la fonction <q>(x) reste constamment positive entre les limites
Cette condition étant remplie , comme la quantité <P (a) sera elle-même positive , si l’on fait
/ = /[(<H* (x*)‘] » £= arc tan&. .
on en conclura
«■(*) = W VF =/ [cos- F VF sin- {]*
Concevons maintenant que dans I équation (2) on remplace successivement y par y-*-z , puis z par 5+«; &c....; on en déduira
quel que soit le nombre des variables x, y, z, &c... Si de plus on désigne par m ce même nombre , et que l’on fasse
x = y — z = &c... = et ,
l’équation qu’on vient de trouver donnera
‘zsr(mct) = [-zr(ct)]'" = fm [cos. m£i-/=7sin.m£j.
J’ajoute que la formule
'or (m et) ~ y* [cos. in ? -+- -/—î sin.m^]
subsistera encore , si l’on y remplace le nombre entier m par nne fraction ou môme par un nombre quelconque fx. C’est ce que l’on prouvera facilement ainsi qu’il suit.
Si dans l équation (2) on fait x—^et, y = ~ct, on en tirera
Kl4)] = ^(ct)=/[cos.£-f-/^sin,£]; ,
puis , en extrayant les racines carrées des deux membres , de manière que les parties réelles soient positives, et observant que les deux fonctions Ç(x), cos.x restent positives, la première entre les limites x = o , x = <t, la seconde entre les limites x = o, •*•=£, on trouvera
2(56 . COUR» D’AXAtYSE.
= f 1 [C0S- T ■+■ V-' ®în- y]-
De même, si dans l’équation (l) on fait .z = ^ et, et, on en tirera
Ki *)]* ='5r (t *) =/ 5 [cos- si«- t] i
puis, en extrayant les racines carrées des deux membres de manière à obtenir des parties réelles positives ,
v (t a) =f * [cos- T + r'-7 sin- j]-
Par des raisonnemens semblables, on établira successivement les formulés
■i / in
(?6 *) =/ 16 [cos- 76 -+-VCT^- À] »
■ * : • (i : ■ , i r ;• in 1
et , en général , n désignant un nombre entier quelconque ,
^(-L *)=/-?- [cos. {-L. Q+/Z 7 si„. (ijr {)■].
Si Ton opère sur la valeur précédente de ct^
pour en déduire celle de 'ar^-et^ , comme on a opéré sur la valeur de •ar(ct) pour en déduire celle
de -ar (m a.) , on trouvera '
* *) =/ ^ [cos- (tî' C) ^ sin‘ 0] *
ou , ce qui revient au même , et par suite
