cours d’analy

pour des valeurs réelles quelconques positives ou négatives de la variable x ,

(?) 'ar (etx) =p [cos. {x -t- y/HY »in. {x] = [*■ (*)]*•

Si dans cette dernière formule on écrit — au lieu

de x, elle deviendra

(10) *■(*) — J> * j^cos. ^ *in. ^ x)] = [<*■(*)] « :

et, si l’on fait ensuite, pour abréger,

on trouvera '

(12) -zr(.r) = A* [cos. kr-t-f/^Tsin. bx\

Ainsi, toute valeur de -ar (V) propre à résoudre la question proposée sera nécessairement de la forme

A * [cos. bx -t- •}/— T sin. bx~\ ,

A , b désignant deux constantes réelles , dont la première ne pourra être que positive. II est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur de ■or (x) vérifie l’équation (2) , quelle que soit la valeur du nombre A et celle de la quantité b. Ce nombre et cette quantité sont donc des constantes arbitraires.

Corollaire. Dans le cas particulier où la fonction <p(.r) doit rester positive entre les limites x—o , x= 1 , on peut , au lieu de supposer et trèspetit , prendre et = 1 ; et l’on conclut alors immédiatement des équations (p) et (10)

3.' Problème. Déterminer la fonction imaginaire nr(x) de manière qu elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x, et que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y ,

(3) ®-(jry)= -o- (»)-!-«• (y).

Solution. Si, à l’aide de la formule

on remplace dans l’équation (3) la fonction imaginaire -sr par les fonctions réelles <}> et % , puis , que l’on égale de part et d’autre les parties réelles et les coefficiens de , on trouvera

<P(-*fy) = <P (*)-*“ <P (y) 1 % (*y) = % M x (y)-

Si de plus on désigne par A un nombre quelconque, et par L la caractéristique des logarithmes dans le * système dont la base est A , on tirera des équations précédentes [voy. le chapitre V, §. i.tr, j.'probl.]

et l’on en conclura

ou , ce qui revient au même ,

270 cours d’analyse. *

(15) *ar (x) = -zr(A) i L(x).

II suit de la formule (i4) que toute valeur de -3r(x) propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

a, b désignant deux quantités constantes. II est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une jemblable valeur de *ar(x) vérifie l’équation (3), quelles que soient les quantités a et b. Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que , pour obtenir la valeur précédente de nr '(*)» H suffit de remplacer, dans la valeur de cp [x) que fournit l’équation (12) du V.e chapitre [ §. i.er], la constante arbitraire et réelle a par la constante arbitraire, mais imaginaire,

Nota. On pourrait arriver très-simplement à l’ét quation ( 1 5) de la manière suivante.

En vertu des formules identiques

féquation (3) devient

Comme dans cette dernière les quantités variables Lx , Ly admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour

lotîtes les valeurs réelles possibles des variables x et y,

'5r(Ax~?) = -Z?- (Ax) -zzr (A?).

On en conclura [voyez le i .er problème, équat. (6)] -sr (A *) = x -sr (A ') = x-sr(A) , et par suite

-ar (A lx) = -zsr (A) . Lx , ou , ce qui revient au même ,

•a'(jr) = 'sr (A) . Lx.

4.e Problème. Déterminer la fonction imaginaire 'sr [f] de manière qu elle reste continue jentre deux limites positives quelconquês de la variable x, et que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y ,

(4) 'ar{xij) = -u{x). 7sr{y).

SOLUTION. Il serait facile d’appliquer à la solution de ce problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée , si l’on observe qu’en désignant par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A on peut mettre l’équation (4) sous la forme

-ar (A = -ar [ALx).'ar (AL/).

Comme dans cette dernière équation les quantités