I.“ PARTIR C«A;ft IX

la série (3) est convergente et qu’elle a pour somme çette limite , ou bien qu’elle est divergente et n’a pas de somme. Le premier cas aura évidemment

lieu , si les deux sommes

’*-pnrt'x ■: * ; !.'

convergent elles- mêmes , po.ur. des valeurs croissantes de n, vers des limites fixes ; et le second, dan^s la supposition contraire. En d’autres termes , la série (3) sera toujours convergente èn même temps que les séries réelles (i),et (1). Si ees deriuèr<?s, ,qu l’une d’elles seulement , deviennent divergentes , la série (3) le sera également. “

Dans tous les cas possibles , le terme de la série

(3) correspond à l’indice n, savoir^ , \

pn qn

est ce qu’on nomme son ternie général.

L’une des séries imaginaires les plus simples est celle qu’on obtient en attribuant à la variable x, dans la progression géométrique

une valeur imaginaire. Concevons , pour fixer les idées , que l’on fasse 1

X = Z (cos. 0 ■+■ Y~- 1 sia. 0) ,

z désignant une nouvelle variable supposée réelle , et 8 un arc réel. La progression géométrique dont il s’agit deviendra > •

270 COURS d’analyse.

Kl, i(«os.9-+-1/^7sih. 8), a1 (cos. 2 J *in. ij), ...

. . . ï" (cos.nj -J- y/ 1 sin. ng) , &c.

Pour obtenir l'équation qui détermine la somme des n premiers termes de la série précédente , il suffit de remplacer x par z (cas. 0 -h j/^Tsin. 0) dans la formule ” . •

On trouve de cette manière

I1 ®«n. 28h-|/^i sra. 20 )*«*-.•.

[cos. (iitm) g -h y/— T «il». («— 09]

I : ■ V(cos.n9-K1/p7sin.n9),;

i— 3(cos.g-t-y Z-T sin.fl) i-~3(cos.0,-4-y'— i sin. J) *’

et, comme, pour des valeurs croissantes de,,?*, le module de l’expression imaginaire

s" (cos. nfj- 1- y/— 1 sin. ng)

' i— 3 cos. g*— * sin. fl.y'III ’ ■ lif» r> *

savoir ,

( I — 2 3 COS. 8 -t- z1) :