T— «S WM. J
i+z'foi4+«1cos.aJ-f-25coj.:0-t-&c -
(IO)i ~r
s sin.g+2 1 sin.i J-t-#* «in. 3 J-4-&C . :
I — Z co«.{
1— ïicos.j+z*
Ainsi la substitution d’une valeur imaginaire de x dans la progression géométrique
1 , x , xl , ... x* , Scc
rf • * * • *
suffit pour conduire à la sommation des deux séries ( I, -Ccos.ô, Zx cos.20 , ... 2* cos .nS , Sic...
( • Z sin. 0 , 2*sin.2Ô, ... ^"siu.nô , &C...
toutes les fois que la variable z reste comprise entre les limites
c’est-à-dire , toutes les fois que ces deux séries sont convergentes. . . '
Les premiers membres des équations ( i o) étant [ en vertu du i théorème , chapitre VI , §. i .ïr ] fonctions continues de la variable z , dans le voisinage de toute valeur particulière comprise entre les limites z = ■*- i , z =e 1 Je premier membre de l’équation (9) sera lui-mcme, dans le voisinage d’une semblable valeur, fonction continue de z. Or, ce premier membre n’est autre chose que la somme de la série (5), dont les différons termes restent fonctions continues de z entre des limites quelconques. En généralisant la remarque qu’on vient de faire , on obtient la proposition suivante.
1 .'r Théorème. Lorsque les différent termes de la série (3) sont des fonctions d’une même variable z, continues par rapport a celte variable dans le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle cette série est convergente , la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de z.
Démonstration. En effet, dans le voisinage 1 de la valeur particulière attribuée à la variable z , la série (3) ne peut être, convergente et avoir pour ses différens termes des fonctions continues de -, qu’autant que les séries réelles (1) et (2) jouissent J’une et l’autre des mêmes propriétés : or , dans cette hypothèse, chacune des sommes
P* -+• Pt +pt •+■ &c. . . . ,
qa qt -+* qt •+• &c. . . .
étant [en vertu du i.*r théorème, chap. VI, §. i.er] fonction continue de la variable z, il en résulte que la somme de la série (3), savoir,
S=(Po-+-p,-*-p>+ &.C...)-t-(q0-hq,-hqt-*-&LC...) l/~'
sera aussi fonction continue de cette variable. Supposons maintenant que Ton désigne par
les modules des différons termes de la série (3) , et par
»in.0# , «in.9, , coi.8,4-y/,^7 «n.0, , fcc.
280 vCoühs d’aicàjlyse.
les expressions réduites correspondantes, en sorte
qu’on ait généralement
fn = (Pn' + qu'Ÿ,
Pn ~fn (COS. ô„ -1- /^T Sin. 6„) *
La sérié (3) deviendra ,
J> o (cos-Se-t-j/m *m.0o) , J), (cos.0,-)-y'Z7 *in.0,),
J>2 (cos.^-t-/-! iin.0* ) , j>n(co».0„-ty'Z^sin.0„), &c. ;
et l’on pourra ordinairement décider si cette série est convergente ou divergente , à l’aide du théorème que je vais énoncer.
2.‘ Théorème. Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge , tandis que n croit indè-
finiment, l’ expression (j>n) ” . Suivant que la plus grande de ces limites sera inferieure ou supérieure à l’unité , la série (3) sera convergente ou divergente,
Démonstration, Considérons d’abord le cas
où les plus grandes valeurs de l’expression (j>„) " convergent, tandis que n croit indéfiniment, vers une limite inférieure à l’unité. Dans ce cas, la série
03) /•* /• » /»»’"• fn, &C....
étant convergente [ chap. VI, §. 2 , 1 .*r théorème] , les séries * - .
J> o COS.0o , JJ, COS.0, , J>2 COS.0a , ... JJn cos.0, , &c.. . . ‘
J5. sia-Ôü , J>, ein.0, , sin. 9» , j>„ gin.0, , fe.. ..
î.“ PARTIE. CHâV. IX. 281
le seront également [chap. VI, §. 3 , 4-* théorème] ; et la convergence de ces dernières entraînera celle de fa série (12), qui n’est que la série (3) présentée sous une autre forme.
Supposons en second lieu que , pour des valeurs
croissantes de n , les plus grandes valeurs de (j>„) * convergent vers une limite supérieure à l’unité. Dans cette hypothèse on prouvera , par un raisonnement semblable à celui que nous avons employé dans le VI.' chapitre [§. 2 , i théorème] , que les plus grandes valeurs du module
fn = (Pn +qn'Y
croissent avec n au-delà de toute limite , ce qui ne peut être vrai qu’autant que les plus grandes valeurs des deux quantités pn , qn, ou au moins de l’une d’entre elles , croissent de même indéfiniment. Or T comme ces deux quantités sont les termes généraux des séries (1) et (2), on doit conclure que de ces deux séries , l’une au moins est divergente ; ce qui suffit pour assurer la divergence de la série (3).
Scholie 1* Le théorème qu’on vient d’établir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série imaginaire que dans le cas particulier où la limite des plus grandes valeurs de
( />„) " devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier il n’est pas toujours facile de décider la question. Toutefois on peut affirmer que, si la série (1 3)
282 cours d’analyse.
est convergente , les séries ( i 4) et par suite la série ( 1 2) le seront pareillement. La réciproque n’est pas vraie, et il pourrait arriver que, la série (1 2) restant convergente, la série (13) fût divergente. Ainsi, par exemple , si l’on suppose . t . .
on obtiendra, à la place des séries ( 1 2) et ( 1 3) , les deux suivantes * . . .
-*-7 Ve7» -A/-.
dont la seconde est divergente , tandis que la pre mière reste convergente, et a pour somme
/ désignant la caractéristique des logarithmes népériens.
Scholie 2.' Lorsque , pour des valeurs croissantes de n, le rapport
Sa
s’approche indéfiniment d’une limite fixe , cette
1 limité est également celle vers laquelle convergent
les plus grandes valeurs de l’expression (fn) " .
Le 5 / théorème du 3. 'paragraphe [chap. VI] est évidemment applicable aux séries imaginaires aussi bien qu’aux séries réelles. Quant au théorème 6‘ du
meme paragraphe , on doit , lorsqu’il est question de séries imaginaires , le remplacer par le suivant.
' 3.* Théorème. Soient
H0 , U, | «lt ..... U„, &C.. . . ,
V0, V, , vx , v„, &c
deux séries convergentes, mais imaginaires, qui aient respectivement pour sommes s et s . Si chacutie de ces séries reste convergente lorsqu’on réduit ses différons termes à leurs modules respectifs,
U'V,, u0v,-+-ulv0 , ...
sera une nouvelle série convergente imaginaire , qui aura pour somme ss.
Démonstration. Désignons respectivement par sn, s„’ les sommes des n premiers termes des deux séries (i 5), et par s J' la somme des n premiers ternies de la série (16). On trouvera
*n*m—*»=U».t *>*. *+■ V„x H- U„XV
... H- Vx + Ù„^Vx-*-...+ U XV U ,
Désignons encore par fn et f„‘ les modules des expressions imaginaires un et vn, en sorte que ces expressions soient déterminées par des équations de ia forme
u« — fn ( cos- 6. •** V~' sin- ô* ) »
v « = fn ( «>»• 6'„ ■+* V/l sin> )•
281 cours d’analyse.
Les séries réelles ' ,
étant convergentes par hypothèse , on en conclura , comme dans le chapitre VI [§. 3 , 6.e théorème], que la somme ,
converge , pour des valeurs croissantes de # , vers fa limite zéro. II en sera de même à fortiori des deux sommes
j»,-, y»., cos.(0„, -+- e'„, )
cos. c 0 „a-+-iEr >3
y, cos-(0„-., -+-9',)-t-i>^.iyJcos.(e„J -+»0i j *+•...
• ■ • -+- -Pt J> n-i c°s-(0i'+-0',x) H-i>, J>\, cas.te, -+- 0' ,
et
*+- l-Pn -> s‘n-(0„,-t-0'„-J-HJ>,a >*«, si“-(0„J:t-0',,)]
sin.(0„„, -+-0',)-+-J>„1 ...
• »•* .P,-, sm.(02 -(-0' sin. (0, -+■ 0's„,)] ,
dont la première représente évidemment la partie réelle de l’expression imaginaire
tandis que la seconde représente le coefficient de dans cette expression. Par suite , sns'„ — s"m convergera aussi, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro : et, comme s„s„' m’approche indéfiniment de la limite ss' , il faudra de toute nécessité que l’expression s„" , c’est-à-dire, la somme des n premiers termes de la série ( 1 6) , s’approche elle- même indéfiniment de cette dernière limite. Il
en résulte, i.° que la série (16) est convergente, 2.0 que cette série convergente a pour somme s s'.
J. 2.* Des Séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable.
Soit x une variable imaginaire. Toute série imaginaire ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable .x sera de la forme
a^boy-iy (at^-biy^)x, {ax+by-> )x\ ..
{an+btty=x)xr y &c. . : '
n cr
‘ HJ n*ir
flti ••• j b9 , b^ t ... bu t &c.r.?
désignant deux suites de quantités constates. Dans le cas où les constantes de la seconde suite s’évanouissent, la série précédente se réduit à
(i) a„ , a,x , atx* , .... a„x" , &c4.\. v
Nous considérerons en particulier dans ce paragraphe les séries de cette dernière espèce. Si, pour pfus de commodité, l’on pose j . *
28$ cours d’analysé. «
(2) X = Z (cos. 9 -+- y'-^i sin. 9 ) ,
5 désignant une variable réelle et 9 un arc réel , la série (0 deviendra
. f aol a,*(cos.0-t-y/i *in.9), al3*(co«,i9-Hry^TMB..ï •)~
