z1' . ji

Y 8IU- S ~ SIn- 2fl H sin. 30 -+- &c. . .

— arc tang.

z sin. 0 I -f-3 COS. •0,‘

Corollaire 2.' Si l’on suppose 9 — ~t ou, ce

qui revient au même, cos. 9 = o , sin. ô = 1 , la seconde des équations (3 8) deviendra

(3 9) z \ 1 ^ &c. . . = arc tang. Z. \ * ’j

La série qui forme le premier membre de cette dernière équation étant convergente non - seulement pour toute valeur numérique de z inférieure à l’unité y mais aussi lorsqu’on suppose z — 1 [voyez le chapitre VI J. 3, 3/ théorème], il en résulte que l’équation subsistera dans cette dernière hypothèse ; et , comme on a d’ailleurs

arc tang. (i) =s ~ f

on en conclura

La formule^ 4o) peut servir à calculer par approxi-

308 cours d’analyse.

fnation la valeur de vr , c’est-à-dire , le rapport d«

la circonférence au diamètre.

5. 3.* Notations employées pour représenter quelques Fonctions imaginaires auxquelles on est conduit par la sommation des séries convergentes. Propriétés de ces mêmes Fonctions.

Considérons les six notations

A* f sin. X , cos. X ,

Lx , arc sin. X , arc cos. X.

Si l’on attribue à la variable x une valeur réelle , ces six notations représenteront, comme l’on sait, autant de fonctions réelles de x, qui, prises deux à deux , seront inverses l’une de l’autre , c’est-à-dire , données par des opérations inverses , pourvu toutefois que, A désignant un nombre, L exprime la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A. II reste à fixer le sens de ces mêmes notations , dans le cas où la variable x devient imaginaire. C’est ce que nous ferons ici , en commençant par les trois premières.

On a prouvé que , dans le cas où la variable x est supposée réelle , les trois fonctions représentée» par

A* f sin. X-, cos. X ,

sont toujours developpables en séries «onvergente»

ordonnées suivant ies puissances ascendantes et entières de cette variable. On aura, en effet, dans cette hypothèse ,

(1) / cos.* = 1 — — -4- »

I sm. x ~ »- &e

la caractéristique / désignant un logarithme népérien. De plus, comme [en vertu du 1 .*r théorème , corollaire 1 .er , §. 2 ] les séries qu’on vient de rappeler restent convergente» pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de là variable x, on est convenu d’étendre les équations (1) à tous les cas possibles, et de les considérer comme pouvant servir à fixer, lors même que la variable devient imaginaire, le sens des trois notations

A*, sin. X , cas. X.

Observons maintenant que, si dans la première des équations (1) on fait A — e, e désignant la base des logarithmes népériens , on en tirera

puis , en écrivant successivement , au lieu de x , xlA , , — xÿ^î ,

310 cours d’analyse.