VM

xl A r‘(lA)1 .x'UAV ,

On aura par suite

i IA Âx

— cos. x rt- T sin.,«ar

— cos. x — j/— i sin. X

,1a variable x pouvant toujours être ou réelle, ou imaginaire. De plus, Péquation (31) [§..2] donnera, quels que soient ifr, et y ,

(5) ex . e? —

'Cela posé , il deviendra facile d’obtenir sous forme finie les valeurs de A” , sin..r, et cos. x , correspondantes à dès valeurs imaginaires de la variable x. En effet, si l’on suppose

(6) x = cu-+- & ]/— ï ,

<t , & représentant dqs quantités réelles , on conclura des deux premières équations (4) jointes à l’équation (5) ,

xlA (*+C/rr)Lt P.IA SIA-/^ A :i=é ips.ie . —b »e

=z.A* (sosr&lA A-.tyï—i/W'.ÇtA');

et des deux dernières équations (4)

cos. X —

sin. X —

puis, en remettant pour .r sa valeur et -h £j/— > , et développant les seconds membres,

1 cos.# = cos. fit sin.ot.y— i,

, J f S SS

' ' \ sin.er= sin. et H cos. fit . y — i

I = cos. — et — € /-i

Ainsi , dans i’hypothèse admise , les trois notations A f , sin. X , cas. X

désignent respectivement les trois expressions imaginaires

A * ( cos. Cl A si». OA).,, , . ■

sin. et -+- cos.et.y'-t»» j

cos. ot —

-r, — sin. et. y— i.

Dans la même hypothèse , si l’on fait A—e , 1 équation (7) fournira pour la notation

312 COURS d’analyse.

ex

la valeur suivante

em (cos. C -+* y^i sin. C). %

Les valeurs des trois fonctions A * , sin. X , cos. X

se trouvant fixées par ce qui précède, dans le cas où la variable x devient imaginaire , nous avons encore à chercher quelles définitions on doit donner, dans le même cas , des fonctions inverses

Lx , arc sin. X , arc cos. X ,

ou plus généralement quel sens on doit alors attribuer aux notations

L ((x)) , arc sin. (jxjj , arc eos. ((jf)).

Supposons toujours .

X — ce -4- £ V'~~' — f (cos. 6 -+- j/— T sin . 0 ) ,

db, C désignant deux quantités réelles qui peuvent être remplacées par le module j> et l’arc réel 0. Toute expression imaginaire ü + v propre à vérifier l’équation

(io) Au+V^-' = X

sera ce qu’on appelle un logarithme imaginaire de x pris dans le système dont la base est A. Comme l’équation ( i o) fournit, ainsi qu’on le verra ci-après , plusieurs valeurs de u -+- v y^î , dans le cas mémo

où £ se réduit à zéro , il en résulte que toute expression , soit imaginaire , soit réelle , a plusieurs logarithmes imaginaires. Lorsque l’on voudra désigner indistinctement un quelconque de ces logarithmes [ parmi lesquels on doit comprendre le logarithme réel , s’il y en a ] , on emploiera la caractéristique L ou / suivie de doubles parenthèses , en ayant soin d énoncer dans le discours la base du système. Nous choisirons de préférence la caractéristique l , lorsqu’il s’agira de logarithmes népériens pris dans le système dont la hase est e. En vertu de ces conventions, les divers logarithmes des quantités réelles ou expressions imaginaires

se trouveront respectivement désignés, dans le système dont la base est A, par

£((>)). £((—)). tH, •

et , dans le système népérien dont la base est e , pat'

Cela posé, pour déterminer ces divers logarithmes, il suffira de résoudre les problèmes suivans.

1." Problème. Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de ? expression

Solution. Soit n-t-vj/^ï l’une de ces valeurs,

u, v désignant deux quantités réelles. On aura , d’après la définition même de l’expression /((i )) ,

(n) ,eu+v^=i,

ou , ce qui revient au même ,

eu ( cos. i> -+- j/— i sin. ,1») = I .

/On tirera de cette dernière équation

cas. V -h ]/— i sin. V ~ I ,

' .et par suite

cos. v=l, sin. y — O , U = dr 2 Æ 7T ,

Æ représentait un nombre entier quelconque. Les quantités m et étant ainsi déterminées , les diverses valeurs de « + n/- 1 propres à vérifier l’équation (i i) seront évidemment comprises dans la formule

' ’ ' U -¥-V ]/— i =r dr 2 km" . |/— i.

En d’autres termes , les diverses valeurs de ‘ / (( i )) seront données par l’équation

(l2) /[(l)) = ± 2 /Î-TT. ]/“.

Parmi ces valeurs une seule est réelle >4savoir , celle qu’on obtient ep posant fc=o , et qui se réduit çüemême à zéro. C’est pour représenter cette valeur réelle qu’on emploie communément la notation

simple ... . : • . . . ;. .. . ..

/(l.) OU II.

Quant aux valeurs imaginaires de ^((i)), elles sont évidemment en nombre infini.