Problème. Trouver les diverses valeurs de l expression

Solution. Soit u-+-v j/~i l’une de ces valeurs. On aura , d’après la définition même de l’expression

(l g “+<'/— « — j/ i =y?^cos.9-t-|/^T»in.ô) ,

ou , ce qui revient au même ,

eu (cos. sin. v) — j> (cos.O-t-p'— 1 sin.0),

f désignant le module de et -+- Ç> ÿ~\ i. On tirera de l’équation précédente

em=f>

cos. V+/-1 sin. V — cos. Q ÿ'—i sin. 0 ;

et par suite

cos.u == cos. 0 , sin.v=sin.0 , = 0 rb 2 /:7r ,

k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u, v étant ainsi déterminées, les diverses

valeurs de u-t-v -/~ se trouveront comprises dans ia formule

u-hv — /(j)') -t-Q dc.zk'n’ ■/— (.

En d’autres termes , les diverses valeurs de

seront données par l’équation

Il est bon d’observer que dans cette dernière équation la valeur de f est complètement déterminée , et égale à

tandis que l’arc 9 peut être l’un quelconque de ceux qui ont pour cosinus ÿ ( ^ ^ et pour sinus

Corollaire i*r Si f on fait , pour plus de com-

modité ,

(17) £ = arc tang. -J- ,

il sera facile d’introduire dans la formule (16) l'arc £ au lieu de l’arc 8. En effet , on pourra supposer

si cl est positif, et

8 — vr

318 cîours d’analÿsè.

si et est négatif. On trouvera , dans la première hypothèse ,

et , dans la seconde ,

Si dans cette dernière équation on fait én particulier et -+- £ j/^T = — 1 , c’est-à-dire , et *=. — 1 , £ — o , et par süite f — i , ô , on obtiendra la suivante

-(ao) / ((- 1 )) = 7f j/=7 -h /({ 1)).

Il en résulte qu’on aura généralement, pour des valeurs négatives de et,

Supposons maintenant que dans les formules (1 8) et (21) on substitue à la place de j> et de £ leurs valeur*

•(ct’-f-C*)1' et arc tang. - - .

On trouvera pour les diverses valeurs de / (( au -+- £ j/— 1 'jj a si et est positif,

( /((et •+■ £ /-> )} =

( T^eL‘ (are teng- ~ ) y/^i -+- / (( 1 )) ; 2.0, si et est négatif ,

!.h\ PARTIE. CHAH, IX. 3tü

/((et -+- C }/-< )) =■

y /(csM-C*)-!- (arc tang. y) ^ -y -t- l)). .

Corollaire 2.* Si dans les équations (22) et

(23) on suppose C= o , elles donneront respectivement , pour des valeurs positives de et ,

(24) %))= /(et) W(( I )) == / (et) ± 2 * TT yO , et , pour des ■•Valeurs négatives de et ,

Æ devant toujours être un nombre entier. II suit de ces dernières formules qu’une quantité réelle et a une infinité de logarithmes imaginaires, parmi lesquels se trouve un seul logarithme réel , dans le cas où et est positif. On obtient ce logarithme réel , désigné par la notation simple /(et) ou /et, en posant dans l équation (24) k = o.

Scholie i.tr Parmi les diverses valeurs de /(( i )), ainsi qu’on l’a déjà remarqué, il en est une égale à zéro , que l’on indique par la notation /( 1 ) ou / 1 , en faisant usage de parenthèses simples, ou même les supprimant tout-à-fait. Si l’on substitue cette valeur particulière dans 1 équation (22), on obtiendra une valeur correspondante de

que l’analogie nous porte à indiquer , à l’aide de parenthèses simples , par la notation

cours d’analÿs*.

/ ( A -H te y/—i •

Cest ce que nous ferons désormais. Par suite, on aura, en supposant et positif,

(26) /(*h-C/=Ï) -1 l(oL'+C') -+-(arc tang. C-

Si au contraire et devient négatif, — et étant alors positif, on trouvera

K ^ f/—t ) =7/(et‘-+-^*)-+-^arctang. V~~l »

ou , ce qui revient au même ,

(27) /( et £)/—') = /(^ot1-+-C1)-t-^arc tang.^ .}/ —1 .

En faisant usage des notations précédentes , on réduira les équations (22) et (23) à celles qui suivent

(28) l((c tH-C/^7)) = /( et -H £ /-,) -h /(( 1 )) ,

(29) /(-ct-C/-,) H- /((,)),

la première se rapportant à des valeurs positives de et , et la seconde à des valeurs négatives de la même quantité. En d autres termes, suivant que la partie léelle dune expression imaginaire représentée par a- sera positive ou négative , on aura

ou bien

En résumant ce qu’on vient de dire , on voit que la notation . 4 *

a une signification précise déterminée par l’équation (26}, dans le cas seulement où la partie réelle de l’expression imaginaire représentée par x est positive, tandis que k notation D &

a dans tous les cas possibles une infinité de valeurs déterminées par lune des équations (2 S) et (29)