AI

j =z.(tt + ev/-T)H-z.((.))J ,

et, pour des valeurs négatives de la même quantité,'

i.R£ Partie, chap. ix, 323

= Z» ( — et — £ y'— i ) -

-<Vrî) /((-,))

En d’autres termes , suivant que la partie réelle d’une expression imaginaire représentée par x sera positive ou négative, on aura •

(37) tH = L{x)+L^))=L(x)±

ou bien

k désignant un nombre entier quelconque. On peut ajouter que des deux formules précédentes la première subsiste pour toutes les valeurs réelles positives de ta variable x , et la seconde pour toutes les Valeurs réelles négatives de la même variable.

Après avoir calculé les divers logarithmes de l’expression imaginaire ’ *

X— et y/~i ,

proposons-nous de. trouver les arcs imaginaires dont le cosinus est égal à x. Si Ion désigne par

arc cos. ■((,*■)) = U -t- V ■/ — t

fun quelconque de ces arcs, on aura, pour déterminer u -et» |/—i r l’équation •. * ,

cos. ( if -+- V y/ — 1)— cL-+-£ÿ — 1,

ou , ce qui revient au même , la suivante

(35;) ■ cos. U — - — ~~ sin. U . }/— t = ct-i-£y/-^i }

3*24 cours d’analyse.

laquelle se divise eu deux autres , savoir ,

er -+- e“

cos. U =■ Ct ,

sin. U

A ces dernières on peut substituer le système équivalent des deux formules

** ' COS. U SI 11. U 7 COS. U Slll.fi

De plus, si l’on élimine v entre les formules (40» on en tirera successivement

sin.* u 1 ’

sm.

i .*U — (l — cl‘ —C1) sin.1 U — C* = o ;

puis , en observant que sin.1 u est nécessairement une quantité positive,

On aura par suite -

cos. U =

et , comme [ en vertu de la première des équations (4o)] cos. u et a, doivent être de même signe , on trouvera, en extrayant les racines carrées ,

(40 cos.M=

Cela posé , si l’on fait pour plus de commodité

by Goc

on conclura des équations (4 1) et (4 2) *

(44) U == ± U ± T.k'TT , V = ± V ,

k désignant un nombre entier quelconque, et le» deux lettres U, V devant être affectées du même signe; en sorte qu’on aura définitivement

(45) arc' cos. ((.r)) zsz± zk'TC ziz^U -\r V j/— ■ ).

Parmi les diverses valeurs de arc cos. ((.r)) que fournit l’équation précédente, la plus simple est celle qu’on obtient eu posant k=G dans- le premier terme du second membre , et prenant l’autre terme avec le signe Nous la désigneront* à l’aide de parenthèses simples, et nous écrirons en conséquence

arc cos. (r) = U -+- V 1.

ou même, en supprimant tout-à-fait les parenthèses ,

(46) . arc cos. X = u+ r/-T.

Dans le cas particulier où , £ étant nul , la quantité et reste comprise entre les limites — 1 , -+- 1 , la formule (46) se réduit , comme on devait s’y attendre, adéquation identique

arc cos. et — ' arc cos. et.

D’autre part, si l’on observe que± 2 kir représente nn quelconque des arcs qui ont l’unité pour cosinus,

326 cours, d’analyse

on reconnaîtra que l'équation (45) peut être mise

sous la forme

(4y) arc cos. ((.*•)) =» rfc-arc cos. X •+- arccos.(( 1 )).

Il est encore essentiel de remarquer que, dans le cas où l’on suppose C—o , et la valeur numérique de et. supérieure a l’unité , l’expression

arc cas. et

obtient toujours une valeur imaginaire. Cette valeur sera donnée par l’équation

arc cos. et — l (et) . >}/— '

•si et est positif, et par la suivante

, ^4-9,) arc cas. a = -h /(— a) .v/^7c= [/(— et) — v

si à. devient négatif.

Considérons ruafn tenant les arcs imaginaires dont le sinus est x—et^-C ÿ'r—'. Si l’on désigne un quel* conque de ces arcs par

• aresin. ((.r)) * »+!) ÿ— • ,

on trouvera [en ayant égard à la seconde des équa*

lions (9)] | ... ; : •• 1

' x — v y/—' ) — cos.f — *— il — v |/— 1 j ;

et l’on en conclura ...

(50) arc sin. ((jr)) == U -+- Vy/—t = -^.t— arc cos. ((.r)).

Si -dans la formule précédente on substitue lés doverses valeurs dearc ccs;((u)) , dont l’une a été dé*

signée par la notation arc cos. (.r) ou arc cos. x , on obtiendra les diverses valeurs de arc sin. ((.r)) , dont l’une sera désignée par la notation arc sin. ( x ) ou

arc sin. x , et déterminée par l’équation

arc sin. X = — — arc- cos. X.

A l’aide des principes que nous venons d’établir, il est aisé de reconnaitre les propriétés les plus essentielles dont jouissent les fonctions de la variable

imaginaire x représentées par les notations

A * , cos. X , sin. X ,

L X , arc cos. X , arc sin. X.

Pour obtenir ces propriétés , il suffit d’étendre les formules que ces fonctions vérifient dans le cas où la variable x est réelle , au cas où la variable devient imaginaire. Cette extension s’effectue d’ordinaire sans difficulté pour cliactmc des trois fonctions®

A x , cos. X , sin. X,

Ainsi, par exemple, A, B, C, .... désignant plusieurs nombres , on prouvera facilement que les équations

AX .A’ . À* ... = Ax*r*z —,

Âx . B* . Cx ... =• (AB C...)x ,

cos. (j " — cos. X cos. y — sin. X sin. y t

sin. (x -+- y) — sin. X cos .y -4- sin. y cos. X

subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires quelconques des va-

328 cours d’analysf..

riablcs x , ij, z, ... Mais, si l’on considère des formules dans lesquelles entrent les fonctions inverses

LéX , arc cos. X, arcsin..r,

on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas où les variables deviennent imaginaires, ne subsistent plus qu’avec des restrictions considérables , et pour certaines valeurs des variables dont il s’agit. Par exemple , si l’on fait

jr = <*- 4-f y/ — i , y — tt -+-(» / 1 * = * -t -C /— i , &c.. . ,

et , si l’on désigne par ft une quantité réelle quelconque , on reconnaîtra que la formule

(54) £(.r) -+- L(y) IJ^z) -+- &c... = L(xyz...) •

subsiste seulement dans le cas où , au , au, au", &c... étant positifs, la somme V-èù

arc tang. — -t- arc tang. — r- -+- arc tang. -y -t- &C...

reste comprise entre les limites — et la formule

dans le cas où , au étant positif, le produit

[K . arc tang. —

reste compris entre les mêmes limites.