CHAPITRE X

Sur les Racihes réelles ou imaginaires des Équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière d’ une seule variable. Résolution de quelques Equations de cette espèce par l’algèbre ou la trigonométrie.

5- 1." On peut satisfaire à toute Équation dont le premier membre est une Fonction rationnelle et entière de la variable x par des valeurs réelles ou imaginaires de cette variable. Décomposition des polynômes en facteurs du premier et du second degré. Représentation géométrique des facteurs réels du second degré.

CONSIDÉRONS une équation algébrique dont le premier membre soit une fonction rationnelle et entière de la variable x. Si n représente le degré de cette équation , elle pourra se mettre sous la forme ’ •:

(1) a0xn-\-alx”~t -t- x-+-qa= o,

a„, a, , a, , ... , a„ étant des coefficiens constans

réels ou imaginaires. Ou appelle racine de cette même équation toute expression réelle ou imaginaire

330 co lus d’analyse.

qui, substituée à la place de l’inconnue x , rend le premier membre égal à zéro. Supposons d’abord, pour fixer les idées , que les constantes ao , a\ , ax . .. an se réduisent à des quantités réelles. Algrs, si deux valeurs réelles de x substituées dans le premier membre de 1 équation (i) fournissent deux résultats entre lesquels zéro se trouve compris, c’est-à-dire, deux résultats de signes contraires , on conclura du chapitre îï [§.2, 4' théorème] que l’équation (i) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre ces valeurs. U en résulte que toute équation de degré impair aura au moins une racine réelle. En effet , si n est un nombre impair , le premier membre de l’équation ( i ) changera de signe avec son premier terme aQxn , toutes les fois qu’en attribuant à la variablç x des valeurs numériques trèsconsidérables on fera passer cette variable du positif au négatif : [voy. le 8.e théorème du chap. II , §. i].

Lorsque n devient un nombre pair, la quantité xn demeurant positive tant que la variable x est réelle , le premier membre de l 'équation (,i ) finit par être, pour de très -grandes valeurs numériques de x , constamment de même signe que aa. Si, dans la même hypothèse , a„ et ao sont de signes contraires, le premier membre changera évidemment de signe, lorsqu’on passera d’une très- grande valeur numérique de x à une très-petite , en laissant la variable toujours positive ou toujours négative. L équation ( i ) aura donc alors deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative.