I.FC PARTIE. CHAP. X

Lorsque, n étant un nombre pair, ao et a„ sont de' même signe , il peut arriver que le prertiier membre de i’équation ( i ) reste , pour toutes' les valeurs réelles de x , de même signe que ao , sans jamais s’évanouir. C’est ce qui a lieu , par cxemplp, pour chacune des équations binômes

x*-+-i = o, ^r+-t- 1 — o , xl5-t-i = o, &c.... .

Dans un cas semblable, l’équation (r) n’aura plus de racines réelles ; mais on y satisfera en prenant pout. .r une expression imaginaire

u , v désignant deux quantités réelles et finies. Cette proposition, et celles que nous venons d’établir, se trouvent renfermées dans le théorème suivant.

l.er Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs, .imaginaires .clés constatées

na , a ,, ... aa, , nn , l’équation , .

(i) a.^ + a, x"~' -+-... x-t -au — o ,

dans laquelle n désigne un nombre entier égal ou supérieur a l’unité , a toujours des racines réelles ou imaginaires. •• • >• "•'* •

Démonstration. Désignons, pour abréger, par f(x) le premier membre de l’équation (i) : f(x) sera une fonction réelle ou imaginaire', maik toujours entière, de la variable x; et, puisque toute expression réelle u se trouve comprise comme cas particulier dans une expression imaginaire u-

cours d’akalyse.

il suffira, pour établir le théorème énoncé, de démontrer généralement qu’on peut satisfaire à l’équation

CO

en prenant

. • •; js

puis attribuant aux nouvelles variables u et v des valeurs réelles. Or , si l’on substitue la valeur précédente de x dans la fonction f(x) , le résultat sera v. de la forme “ ......

<J> (u-, v ) , % (m , v) désignant deux fonctions réelles et entières des variables u et v. Cela posé, l’équation (i) deviendra

et, pour y satisfaire , il suffira fie vérifier les deux •quations réelles * . . ' ~

cp (ù, v)=z o ,

ou , ce qui revient au même , l’équation unique

(3) OK*')]‘ -‘-[xK =

Donc , si l’on pose pour plus de" commodité

il restera seulement, à montrer que l’on peut obtenir