ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS

St. 1® On appelle arrangements de n lettres, p à p, les mots composés de p lettres prises parmi les n lettres données (*).

D après cette définition, deux arrangements quelconques diffèrent, soit par les lettres qui y entrent, soit par l'ordre de ces lettres.

Ainsi les arrangements, trois à trois, des cinq lettres a, byC,d, e, sont

abc, bac, 6ca, bde, eda, d6e....

^ Les permutations de n lettres sont les arrangements formés avec ces lettres prises toutes ensemble (**). Par

(*) Cette définition, assez dîflTérenle des définitions ordinaires, nous a semblé propre à empêcher les élèves de confondre les arrangements et les combinaisons. 11 est peut-être superflu d'ajouter que les assemblages de lettres, auxquels nous donnons le nom de mots, peuvent n*avoir aucune signification; ils peuvent même n*être pas prononçables.

{**) Les permutations sont donc un cas particulier des arrangements.

exemple, les lettres a, b, c donnent les six permutations a6c, ac6, bac, bca, ca6, cba,

3® Enfin, on appelle combinaisons, les arrangements dont la composition est différente, c*est-à-dire les arrangements tels, que deux quelconques d'entre eux diffèrent au moins par une lettre.

Les combinaisons des lettres a, 6, c, d, e, prises trois à trois, sont donc

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde,

99. Remarques. — I. L'ordre des lettres, dans une combinaison donnée, est indifférent : pour plus de simplicité, on choisit ordinairement, comme nous venons de le faire , Tordre alphabétique.

IL Tant de lettres que Ton voudra, prises toutes ensemble, donnent lieu à une seule combinaison.

IIL Pour effectuer les arrangements p h p de n lettres, on peut combiner d'abord ces lettres p kp,ei permuter ensuite les p lettres entrant dans chaque combinaison. Il est visible, en effet, que si Ton opère ainsi, il n'y aura ni arrangement amis, ni arrangement répété.

Les combinaisons écrites ci-dessus donneraient, de cette manière, les soixante arrangements, trois à trois, des cinq lettres a, b,c, d, e; savoir:

abc, abd, abe, cde,

acb, adb, aeb, ced,

bac, bad, bae, .... dce,

bca, bda, bea, dec,

cab, dab, eab, ..... ecd,

cba, dba, eba, edc.

L Problème I. — Trouver le fêombre des arrangemenUf p à pfde n kttres.

Soit A.., ce nombre. Pour le déterminer, observons que si l*on connaissait les arrangements p — 1 à p — 1 des n lettres données, arrangements dont le nondl>re sera désigné par \m.p-t9 on formerait aisément les arrangements php des mêmes lettres. En effet , à la droite de chacun des arrangements composés de p — 1 lettres, inscrivons, successivement, chacune des n — (p — 1) lettres qui ny entrent pas : nous obtiendrons, sans omission et sans répétition, les arrangements cherchés. D'ailleurs , chaque arrangement de p — 1 lettres a produit n — p -H 1 arrangements de p lettres ; donc

Amp = (» — P-^I)A.,,^.

Cette relation générale donne, par le changement de p en p — l,p — 2, ...,3,2:

A^p-i = (n — p ■+- 2) A^^t, Am ^î == (n — p -♦- 3) A,^ ^ , ,

D'ailleurs, A^i, ou le nombre des arrangements de n lettres prises 1 à 1, est évidemment n. Par suite,

Telle est la formule cherchée. Elle exprime que le nombre des arrangements pàp,den lettres, est égal au produit de p nombres entiers, consécutifs et décroissants, dont lepremier est n.

54. Problème II. — Trouver le nombre P„ des permutations de n lettres.

Siy dans la formule (A), on suppose p=n^ on trouve

A«., = n(»— I)... 4, oii

Ainsi, le nombre des permutations de n lettres est égal au produit des n premiers nombres naturels.

55. Problème III. — Trouver le nombre des combinaisons, pàfyden lettres. D'après la Remarque III (99), chacune de ces combinaisons donne autant d'arrangements que l'indique le nombre Pp des permutations de p lettres ; donc le nombre A„,p des arrangements de n lettres, p à p, est égal au nombre Go,p des combinaisons de ces n lettres, multiplié par le nombre Pp des pei^mutations de p lettres; donc aussi

sa. La formule (G) peut être écrite de différentes manières. D'abord, si Ton remplace le numérateur et le dénominateur par leurs valeurs tirées des formules (A) et (B),

on aura

ou, en observant que les deux termes contiennent le même nombre de facteurs,

c. =!î.^zil.îLi^...!!i-P:^. (E)

Ainsi, le nombre des combinaisons de n lettres, p à p, est égal au produit des p fractions

Enfin, si Ton multiplie les deux termes de la fraction (D) par 1.2.3 ... (n — p), on obtient