ti ^'^ i.2.3...p.i.2.3...(n — p
S9. Remarques. — I. Les combinaisons de n lettres sont nécessairement en nombre entier; donc la fraction (D) doit être réductible à un nombre entier, ou, ce qui est équivalent :
Le produit de p nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des p premiers nombres naturels (*).
II. Le second membre de la formule (F) ne change pas (|uand on y remplace p par n — p; donc
ou , en d autres termes :
Le nombre des combinaisons de n lettres, prises p à p, est égal au nombre des combinaisons de ces lettres, prises n — p «n — p(**).
89. Applications. — L Combien les 10 lettres du mot LOGARITHME , prises l(il,2â2, ...,10âlO, peuvent-elles former d'arrangements?
La formule (A) donne, successivement :
Aip,, = 604 800.5 = 1 814 400,
A,o.» = A,a. io = P40 =- 1 814 400.2 = 3 628 800.
(*) On peut démontrer ce théorème par des considérations purement arithmétiques.
(**) Ceue propriété est presque évidente : à chaque combinaison renfermant p des n lettres données, correspond une combinaison formée des n — p autres lettres; donc le nombre des premières combinaisons est égal au nombre des dernières.
Ainsi y avec les 10 lettres données, on peut former 10 mots d'une lettre, 90 mots de deux lettres, ..., 3 628 800 mots de dix lettres : en tout, 9 864 100 mots. Il est évident que ces nombres seraient considérablement réduits si Ton rejetait, par exemple, tous les mots renfermant trois consonnes consécutives (^), tous ceux qui ne contiennent pas de voyelles, etc.
II. De combien de manières 12 personnes peuvent-elles occuper \^ places autour d'une table?
Ce nombre est
m. De combien de manières peut-on choisir S cartes dans un jeu de piquet?
L ordre dans lequel les S cartes choisies ou tirées étant indiffèrent, le nombre cherché est celui des combinaisons de 32 lettres 5 à 5, c'est-^-dire
K Dans ce qui précède, les lettres arrangées ou combinées étaient essentiellement différentes. Quand cette condition est supprimée, on a des arrangements ou des combinaisons avec répétition. Par exemple, on peut se proposer la question suivante :
(*) Ordinairement, ces mois ne sont pas prononçables : le mot logarithme fait exception.
{**) Si les 12 personnes eifeclaaîent une permutation par minute, et si elles consacraient à ce travail 12 lieures par jour et 560 Jours par année, il leur faudrait 1848 ans pour venir à bout de leur tâche!
Quel est le nombre N des permutations de n lettres, parmi lesquelles se trouvent cl fois la lettre a, ^ fois la lettre b, ..., e fois la lettre t?
Pour effectuer ces permutations, il suflBrait de faire occuper, par les n lettres, n places données. De ces n places, a peuvent être occupées par les a lettres a , d'autant de manières que Tindique le nombre C,,^ des combinaisons de n lettres, a à a. De même, P des n — a places restantes, peuvent être remplies par les (3 lettres 6, d'un nombre de manières égal à C«^^; etc. Enfin, quand toutes les lettres, autres que f, auront été employées, il restera 6 places, dont In répartition entre les 6 lettres / se fera d'une seule manière, ou d'un nombre de manières égal à Ce.o (S2i, II). Par suite,
ou
^^ ^•^'^' -^ /jl\
40. Remarque. — La formule (H) est la généralisation de la formule (F). Elle montre que si un nombre entier n est égal à la somme des nombres entiers ^e, (3, y, ..., 9, /e produit 1.2.3 ... n est divisible par le produit
41. Application. — De combien de manières peut-on permuter les 21 lettres du mot constitutionnellembnt?
Ce mot contient 2 fois la lettre o, i fois la lettre n, etc.; donc
~ 1.2.1.2.3.4.1.2.3.4.1.2.1.2.3.1.2 = 5.7.9.10.ii.7.15.l6.17.18.19.20.4l,
OU
49. Combinaisons avec répétition (**). — Supposons, pour fixer les idées, que trois lettres a, 6, c aient été combinées 7 à 7, de la manière suivante :
aaabbbbj abbbbccy bbccccc^ aaaaace^ (I)
Dans chacune de ces combinaisons, substituons, à chaque lettre répétée, le rang qu'elle occupe dans la combinaison : la suite (1) sera remplacée par
Cette nouvelle suite contient toutes les combinaisons simples des trois lettres a, 6, c et des six chiffres 2, 5, 4, 5, 6, 7. Le nombre des termes de la suite (1), égal à celui des termes de la suite (2), est donc (^7, ou 36. Le même raisonnement subsiste dans le cas de n lettres combinées p à p. Donc la formule des combinaisons complètes est
0 Quand nne permutatioD offre un sens, elle prend le nom d'anagramme. Quelques anagrammes sont célèbres : dans frère Jacques Clément, on trouve : c'est Venfer qui m'a créé; un poète composa cette anagramme pour Marguerite de Valois : Salve, Virgo, Mater Dei, Enfin, Révolution française donne lieu à deux curieuses permutations : Un Corse la finira; Veto. — La France veut son roi.
An lieu de permuter des lettres, on peut faire des permutations de mots : une scène du Bourgeois gentilhomme contient un exemple de ces jeux d'espril. En Toicî un autre, moins connu :
Saint Honoré Dans sa chapelle.
Avec sa pelle, Est honoré.
Ce quatrain en produit vingt-quatre, exprimant tous la même idée. (**) On dit aussi combinaisons complètes.
4S. Application. — Quel est le nombre des termes d'un polynôme homogène complet, du degré p, renfermant n feltres^^ b, c, ... l?
Si Ton fait abstraction des coefiScients, un terme quelconque du polynôme a la forme a^b^c* ... 1^ pourvu que
D'ailleurs l'expression
a^b^c*,,, t^ = aaa ... 566 ... f ce ... W ...
peut être regardée comme une combinaison renfermant a fois la lettre a, p fois la lettre 6, etc. Donc le nombre cherché est N,,^.
Par exemple^ le développement de (a h- 6 h- c)^ contient 36 termes. De même, le nombre des termes du développement de (aH-fc-hc-f-d-f-e-t-Z'-f-jf)' est C5^,.,,5 = 84,
Triangle arliliBiétl^ae*
