XVI. THÉORèME. — Si l'on a

0 < Wi < ti, < ••• < u.i < u„ < Hh^ < -,

et

l étant une quantité finie; la série est indéterminée (*).

XVII. Théorème. — St a -+- 1 surpasse b, et que 2b soit un nombre entier, on a

(*) On peut comparer ce théorème avec celai qae nous avons démontré ci-dessus (n^f Rem. II).

(•*) Par exemple,

XVIII. Théorème. — Soit une série à termes positifs et décroissants :

Au moyen des différences positives

Aï — A4 = «4, Ab — A, = 01, ... A^j— -A„ = a„,

on forme une seconde série

Cela posé :

i^ Si la série (2) est convergente, ou si elle n'est pas plus divergente que la série harmonique, la série (1) est convergente;

^ Si la série (2) est plus divergente que la série harmonique, et que le dénominateur a. tende vers une limite, la série (l) est divergente.

XIX. Théorème de Dirichlet. — La somme d'une série convergente n'est pas altérée par un changement dans l'ordre des termes lorsque ceux-ci, pris positivement, forment encore une série convergente,