CHAPITRE XXL

m^H réeîprm^ue.

S49. On die qu une équation /'(x) = 0 est réciproque, lorsqu'elle a ses racines réciproques ou inverses deux à deux : Téquation •

est réciproque.

(*) En calculant B de deux manières, on trouve VidetUHé : (H -4- 1/13)" = (55^ 13 1/13) (— I ^ |/i5).

(**) La ihéorie des équations réciproques esl attribuée à Reynaad (Antoine-André,, élève, répétiteur el enfin examinateur à l'École polyU'chnique; né en 1777, décédé vers 1832.

D'après la définition, la transformée en ^, /'fM = 0, admet les mêmes racines que la proposée. Ces deux équations, étant ramenées à la forme

a:"* -♦- Ajoc""* -h A^x" h h A^ = 0,

leurs premiers membres doivent être des polynômes idenliqueSy c'est-à-dire dans lesquels les coefficients des mêmes puissances de x soient respectivement égaux. Cette simple remarque permet, comme on va le voir, de trouver les conditions cherchées.

S48. Supposons d abord que Téquation soit de degré impair; et, pour fixer les idées, prenons

f{x) = X» -^ Ax* -*- Bx' ^ Cx' -♦- Dx -*- E = 0.

La transformée en ^devient, après multiplication par j^ et division par E :

x'-t- — x*H — ar -\ — x'-h-x-h-s=0.

On doit avoir

relations d'où Ion lire :

E = dbl, D = ±A, C = dbB;

en sorte que Téquation donnée a Tune ou Tautre des deux formes suivantes :

x* -^ Ax* -♦- Bx» -4- Bx* -*- Ax -f- 1 = 0, (i)

aJ» ^ Ax* -*- Bx» — Bx* — Ax — i =0. (2)

Ainsi, une éqtmtion de degré impair est réciproque, si les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires (*).

(*) Les coDdi lions trouvées, nécessaires, sont évidemmeot suffisantes.

Sâ9. Le même calcul, appliqué à une équation de degré pair :

X* -^ Ax' -♦- Bx* -♦- Cx* -h Dx' -♦- Ex -♦- F = 0,

prouve qu^clle doit se réduire à une des deux formes :

X* -4- Ax» -4- Bx* -♦- Cx» -+- Bx' H- Ax -4- 1 = 0, (ô) X* -H Ax* H- Bx* — Bx' — Ax — I = 0. (4)

G)nséquemment9 une équation de degré pair est rèdproquey si les coefficients des termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires; mais, dans ce second cas, il n'y a pas de terme du milieu (*).

86#. Les premiers membres des équations (1), (2), (i) sont respectivement divisibles par xH-l,x — i,x^ — 1. Supprimant ces facteurs, on trouve

X* -f- (A — l)x" H- (B — A -+■ i)x» ^ (A — 1) X -♦- 1 = 0, x*H-(A-4- 1)x»-+-(B-^A-4-1)x*-i-(Ah- l)x-4-i = 0, X* -f- Ax» -*- (B -h l)x' -♦- Ax -f- 1 = 0;

équations de même forme que (3). Par conséquent, toute équation réciproque est réductible à une équation réciproque de degré pair, dans laquelle les coefficients des termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe. La forme normale des équations réciproques est donc

x'"-+-A,x*'-*-*-A^*^'^H hA„x''-4-...-^A,x'-*-A,x-+-l=0. (5)

Abalflsemeal des éf^alloBa réeli^ro^ves.

S6i. Quand on ramène la résolution d'une équation, à la résolution d'une équation de degré inférieur au sien, on

(*) En effet, la condition C s — G donne G =s 0.

dit que Ton opère Vabaissement de la proposée (*). On a vu, dans la théorie des racines égales, et dans la résolution de réquation du quatrième degré, des exemples d'abaissement d'équations.

En général, une équation /(x)=0 est susceptible d'abaissement, quand on connaît quelque relation particulière entre deux ou plusieurs de ses racines. Soit, par exemple, f (a, 6) = 0 cette relation. Comme on a aussi /'(a)=0, si Ion peut éliminer 6, on trouvera une équation telle que F(a)=0. Autrement dit, on détermine la racine désignée par a en égalant à zéro le plus grand commun diviseur enu*e f(x) et F(x) (S#7); etc. Appliquons ces généralités à réquation (5).

S69. Le produit de deux racines conjuguées étant I , il est naturel de prendre, pour inconnue auxiliaire, la somme «correspondante. Soit donc

le nombre des valeurs de z doit être moitié de celui des valeurs de x, c'est-à-dire n. Par conséquent, la réduite de l'équation (5), ou la transformée en js, sera du degré n. Od forme assez simplement cette transformée, si l'on écrit ainsi la proposée :

tikM. Soit en effet

7j, étant une fonction de z, qu'il s'agit de calculer. Les égalités (6), (8) donnent, par multiplication,

(*) Ou plutôt, Vabaissement du degré de cette équation.

OU plutôt

Les polynômes Zo=2, Z| = z,Z3, ...,Zp,,Z,,Z^,... /b^men< donc une suite récurrente, dans laquelle un terme quelconque est égal à la somme des deux précédents, respectivement multipliés par z et par ( — 1) (*). De plus, à cause du muUiplicaleur z et des valeurs de Zq, Z|, le polynôme Zp^.| est du degré p -h 1 : en particulier, Z„ renferme z"; ce qui devait être (S69).

Si Ton peut résoudre la transformée en z, laquelle a la

forme

on trouvera les valeurs de x, correspondant à celles de z, au moyen de Téquation (6). Celle-ci donne, en effet,

86â. Application :

ou

La formule (9) donne, successivement :

Z, = s«— Î2, Z5 = 2'— 3z, Z4 = jr* — 4z'-h2.

La transformée en jz est donc

ou

X* — ôz* -♦- 5z« — 4z -f- 2 = 0.

(*) Cette loi esi celle qui régit les cosinus des multiples du plus peUt arc de la Table. (B., Trio., 33.)

Par un procédé analogue à celui qui a été exposé cidessus (84S)y on décompose le premier membre en

Ainsi

Z = -{l±[/ïV—'i), Z = l il/ITT;

puis, en vertu de la formule (10) :

1 = 7 [l ±l/3l/=T± |/- iS ± 2I/31/=T],

etc.