CHAPITRE XXIL

ÉQUATIONS BINÔMES.

Sftft. Les équations binâmes sont celles qui ont la forme

y-dbA = 0, (1)

A étant une quantité donnée, positive pour plus de simplicité (*). Les m racines, ou les m valeurs de l/dbA, sont inégales; car le premier membre et sa dérivée sont premiers entre eux.

S69. Si Ton remplace y par ox, a désignant la valeur arithmétique de ^/A, Téquation (1) devient

x" di 1 = 0. (2)

Par conséquent y toute quantité réelle, d= A, a m racines m'*"*", que l'on obtient en multipliant, par la valeur arithmétique de kA, les m racines m**"*' de d= 1 (S99).

S69. Avant d aller plus loin , il convient de distinguer les cas de m pair et de m impair :

1" Si m est pair, I équation af — 1 =» 0 se décompose

en x' — 1 = 0, x^-H i =0;

2" Si m est impair, Téquation x"-*- 1 = 0 a, pour transformée en — X, x" — l =0.

(*) On peut même supposer que A soit imaginaire (<>•). Pour abréger, nous faisons abstraction de ce cas.

ÉQUATIONS BINÔMES. 279

Ainsiy réquation (2) est réductible aux deux formes suivantes :

a:^ -f. i = 0, m pair; (3)

x" — 1 = 0, m impair. (4)

De plus, réquation (3) est réductible au degré j(Sft9); et réquation (4), au de^çré ^^—^ (S&^)-

Sft9. Considérons spécialement Téquation (4). L'appliration du Théorème de Descarœs montre qu'elle a une seule racine réelle, laquelle est 1 ; résultat évident a jpnort. Les m — 1 racines imaginaires jouissent de propriétés remarquables : nous allons en indiquer quelques-unes.

S6II. Tbéoréme I. — Toute puissance d'une racine de l'imité est aussi racine de l'unité.

Soit a une racine imaginaire de Téquation (4); de maniére que a"* = 1. Elevant les deux membres à une puissance quelconque, on a (a'"y= 1 , ou (a*)"*= 1 ; donc of est une valeur de W 1 . En particulier, tous les termes de la progression

sont des valeurs de ce radical.

Sll#. Remarque. — A cause de a*"^* = a'*.a = a, la nérie est périodique : la période contient, au plus, m termes; ce qui devait être.

ISt. Lemme. — Le plus grand commun diviseur des binômes x" — 1 , x"' — 1 , e«f x^ — 1 , A étant le plus grand commun diviseur des exposants m, m'.

Si Ion divise le premier binôme par le second (*), on

{*) En supposant m > m'.

trouve, pour quotient, ac^""'H-x*"*"'-i-...-4-x*~^'"'; cm' désignant, bien entendu, le plus grand multiple de m' contenu dans m. Le reste de la division est donc x""**' — 1, ou, pour plus de simplicité, x""' — 1 . Sans qu'il soit nécessaire d'aller plus loin, on voit que si rn\ m"\ ..., A sont les restes successifs provenant de la recherche du plus grand commun diviseur entre m et m', l'opération analogue, effectuée sur x" — 1, oiT' — 1, donne les restes x"" — 1, xT'" — \y ..., x^ — J- Ce dernier binôme est donc le plus grand commun diviseur demandé.

S#9. THÉonÉME II. — Si l'indice m est premier, ks puissances successives d'une racine imaginaire quelconque de l'unité sont égales à toutes les racines de l'unité; ou, ce qui est équivalent : si m est un nombre premier, et que a soit une racine imaginaire de l'équation x" — 1 = 0, /e« m racines de cette équation sont ol, a*, a', ... a*.

Soit, s'il est possible, a' = a!'y g et h étant plus petits que m. Celle égalité devient a*'* — 1 = 0; ou, en faisant g — h = m' : a'"' — 1=0. Par suite, a. serait une racine commune aux équations x"" — 1=0, x*"' — 1 = 0. Et comme le plus grand commun diviscMir entre m et m' est I, on aurait, par le lemme précédent, ae= 1.

SttS. Racines primitives. — On donne ce nom aux racines qui, par leurs puissances successives, reproduisent toutes les racines. Le Théorème II consiste en ce que, m étant premier, toutes les racines m""** de l'unité (excepté 1) sont primitives. Quand m est quelconque, certaines racines sont primitives, et les autres sont non primitives (*).

(*) Le lecteur peut consulter, pour cette théorie, Isi Résoluiion des équations numériques, par Lagrange (note XIV).

ÉQUATIONS BINÔMES. 281

mé(M»la(i«ii «e «ncltnea équations blDdaiea.

• Premier exemple :

En opérant comme pour Téquation bicarrée (914), on décompose le premier membre en

Semblablementy

x*+x*l/2V 1= (x'-Hx 1^2 -+- 1^2-4- i ) (x'— X 1/2-^1/2-4- i ) ;

en sorte que la proposée est remplacée par quatre équations du second degré.

SUft. Deuxième exemple :

A cause de x** = (x*)3, le premier membre est divisible par X* -H i . Le quotient, ocfi — x* + 1 , égale

La question peut donc être regardée comme résolue. W9i%. Troisième exemple :

Le premier membre est divisible par x' — 1 et par x^* — 1 . Effectuant, on trouve

x»-~i=(x»— <)(x«-f-x»-i-x'-+-x»-4-i) = (x»— i)(x''»-^x»-*-i); et, par conséquent,

(l Vx-^-l ) (x"-^X*-^X«-*-X»-»-1 ) = (x*-4-X»-^x'+X-+-i )(X*«-4-X»-t- 1 ).

Le second membre de cette identité est divisible par X* 4- X H- 1 . D*ailleurs , ce trinôme est premier avec jr* -h x* -+- X* -H X -h 1 («•!) ; donc ce même trinôme doit diviser x*^ h- x' h- 1 (*). En effet,

De même,

x"-f-x*-+-x*-f-x'-hi = (x*-t-x*-*-x'-i-x+i ) (x"— x'-*-x*— flC'-l-x'— I-+-I ).

La proposée est donc remplacée par les équations suivantes :

Les deux dernières sont réductibles, respectivement, à z«-»-z — 1 = 0, z* — z' — 4««-+-4zH-i=0.

Ainsi, des quinze racines de Téquation donnée, sept sont exprimables sous forme finie.

SII9. Quatrième exemple :

Celle équation se ramène d'abord , après la suppression du facteur x — 1, à

Celle-ci a la forme normale des équations réciproques («50). Posant X -4- ^=z, on trouve

(•; Thëorème. — Toute quantité entière, qui divise un produit de deux facteurs entiers^ et qui est première avec Pun d'eux, divise l'autre.

ÉQUATIONS BINÔMES. 283

II resterait donc à résoudre, par les méthodes connues (889, 889), cette équation du troisième degré. On \a voir que l'application du Théorème de Moivre (8ts) conduit plus simplement au but.