Soit d'abord

■ exposant étant pair. Comme le module du terme connu est 1, on peut supposer

or =s cos ç> -f- V/ — 1 sin f ;

d où résulte (8 te)

cos mf -¥■ 1/ — i sin fiif == — i.

Celte équation exige que fn(f=(^k-^i)it, k désignant un entier quelconque, positif ou négatif. Les valeurs des racines sont donc déterminées par la formule

x = cosi —-\-V—\ sini — (6

S88. Remarques. — I. En attribuant m valeurs cotisécutives à l'entier *, par exemple, 0, 1, ... (m — i), on obtient tmtes les racines de l'équation (3). En effet, les arcs représentés par -> — >~> (»w»--<)^ g^^j moindres qu'une circon-

Térence; donc deux quelconques d'entre eux n'ont pas, à la fois, même sinus et même cosinus.

II. Si l'on donnait à k des valeurs différentes des premières, on retomberait sur des racines déjà trouvées. Ainsi, t = m donne x = cos^ -h V/ — 1 sin ^. De même, pour

A;=am + 1, a; = cos 1- 1/ — i sin — ;

eic. (*).

III. Les valeurs de x, répondant à deux valeurs de k dont la somme est m — I , sont conjuguées. Celle proposition se vérifie aussi simplemenl que la précédente. ElU* prouve que Ion obtient toutes les racines de l'équation (5) au moyen de la formule

x = cosî^ —dz[/^--isin~ —y (7)

pourvu que l'on attribue ( ~j valeurs consécutives à k. S70. Considérons maintenant lëqualion

dans laquelle m est impair. Si Ion met à part, pour ainsi dire, la racine réelle 1, on prouve, par des raisonnements semblables à ceux que nous venons d employer, que les (m — 1) racines imaginaires sont données par la formule

=bV/^=nrsin » (8)

x = cos

dans laquelle 4=1,2, ...,

Faetenra trlndmes de J^ db 1 .

»M. La décomposition de x" ifc 1, en facteurs réels du second degré (935) , est une conséquence de ce qui précède. En effet, les formules (7), (8) représentent, respectivement, les racines des équations

(2*-f-1)7r . , 2itïr

x' — 2x cos^ ' — h 1 = 0, x' — 2x cos h 1 = 0.

{*) Celte proposition est évidente a priori, Téquadon (3) ne pouv.iiii avoir plus de m racines.

ÉQUATIONS BINÔMES. 285

Donc, si m est pair, jt" -♦- i = j X* — Sx cos — h 4 I X* — Sx cos f- i I ...

x«— âxcos^^ —-i- i ; (9)

et , si tu est impair,

x*" — i=(x — i)\ x' — Sxcos Hi I x* — Sxcos h1 I...

x« — 2xcos^ —-^\ . (10)

S99. Application. — Nous prendrons seulement Téqua-

lion

déjà traitée (SII9). La formule (10) donne, après suppression du facteur x — 1 :

X* -H X* -i- X* ■+• X' -f- X' -H X -+- 1 = ix* — âxCOS ^'MI* — 2X008 hl llx' — 2xcos hl I.

Malheureusement, les cosinus qui entrent dans cette égalité ne sont pas calculables sous forme finie {*).

I. Résoudre, par la Trigonométrie, les équations x"-4-i==0, x"-f^l=0, x"-+-4 = 0, x"— 1=0.