La formule
peut être écrite ainsi :
Mais,
donc
ou, si Ton remplace n par n — 1 :
Ainsi , le nombre des combinaisons de n lettres, p à p, est égal à la somme du nombre des combinaisons de n — 1 lettrès, p — 1 d p — \,etd%i nombre des combinaisons den — 1 lettres, p à p.
Ce théorème, qui permet évidemment d*obtenir les nombres de combinaisons, par des additions successives, parait en défaut dans le cas de /> ^=3 1 . Mais, comme la relation C^^=C^^ devient, si l'on supposep=0, C,,o=C..,=l, on peut convenir que l'expression C.^o ^^'^ l'unité.
Cela posé, si Ion part de C|, o= i et de C|. i= 1 , et que Ton applique la formule (K), on formera le tableau suivant, connu sous le nom de Triangle arithmétique, de Pascal. Dans ce tableau , le p'^"* terme d'une ligne horizontale de rang n, égal à C^^p» s'obtient en ajoutant le terme de même rang, dans la ligne précédente, avec le terme qui précède
celui-ci.
1 5 10 iO 5 1
4Uft. Remarques. — D'après la manière dont le triangle arithmétique est formé :
!• Dans une ligne horizontale quelconque, les termes à égales distances des extrêmes sont égaux ; et , conséquemment, te somme des termes de rang pair est égale à la somme des termes de rang impair;
^ Chacune de ces sommes égale la somme des termes contenus dans la colonne précédente;
3® La somme des termes de la n**"' colonne est 2" ;
*• Le p**^ terme j de la n'*^ colonne^ esi égal à la somme des tet^meê de rang p — 1 dans toutes les colonnes précédentés;
5"* D*après cela, la somme des nombres de combinaisons, p à p, de p lettres, de p + 1 lettres, ... , de n lettres, égale le nombre des combinaisons de n + 1 lettres, p + 1 à p h- 1 (*)•
Par exemple »
ou
i.2.3.4 i.2.3 1.!2.3 i.2.3 i.3 ou
I. Quelle serait la hauteur d^une pile formée par le papier nécessaire pour écrire toutes les permutations des lettres composant ce vers :
Qui n*a pas ce qu'il veut, doit vouloir ce qu'il a?
L'épaisseur des rames empilées les unes sur les autres est de 5 centimètres; chaque rame contient 600 feuilles; chaque feuille, 4 page&; chaque page, 45 lignes; et chaque ligne, 2 permutations.
Réponse :
40 549 548 739 409 3i5 303 i 16 800 mètres (*').
(*) Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ces propriétés intéressantes. La dernière, que Ton peut formuler ainsi
est une conséquence de Féquation (K).
(**} 68 930 ItO 433 tSO fois la dislance de la Terre au Soleilt
II. Combien y a-t-il de parlies de domino essentiellement diflerentes? Le jeu se compose de 28 dés, et chacun des deux joueurs en prend 7.
Réponse .^Z7 GSO i7l 3^00.
III. Combien y a-t-il de parties d'écarté essentiellement différentes^
Réponse : 3S4 883 858 560.
IV. Combien y a-t-il de mots formés de trois voyelles et de six consonnes?
Réponse : 98 456 601 600.
V. Les deux faces d*un jeton de forme hexagonale sont partagées chacune, par trois diamètres, en six triangles équiiatéraux égaux entre eux. On applique, sur chaque triangle, une des sept couleurs primitives, de manière que deux triangles appartenante la même face ne soient pas de la même couleur. Combien peut-on former de jetons, essentiellement inégaux, satisfaisant à ces conditions?
Réponse :il\6S00.
VI. De combien de manières peut-on appliquer quatre des sept couleurs primitives sur les quatre faces d*un tétraèdre régulier?
Réponse : 70.
Vil. Ayant pris sur un plan n points a, 6, c, ...,tels, que trois d'entre eux ne soient pas en ligne droite, on les joint deux à deux par des droites ofr, ac, bcy ..., qui se coupent en de nouveaux points A, B, C, ... Quel est le nombre N de ces points?
Réponse : a
VIII. Quel temps faudrait-il pour ranger dans une boite h dominos, de toutes les manières possibles^ les vingt-huit dés composant le jeu? On suppose que chaque rangement puisse sWecluer en une minute et que les dés soient toujours tournés dans le même sens.
Réponse :
504 888 444 6H 71 3 860 501 504 000 000 minutes ,
ou environ 5 800 quintillions de siècles!
X. Théorème. — 1® Les combinaisons de 2n lettres, prises n à n, sont toujours en nombre pair;
2® Ce nombre pair est divisible par n -h 1 et par 2n — 1 .
XL Théorème. — 1" -g étant la fraction irréductible équivalente à
le dénominateur D divise a e^ b ;
2® C se réduit à un nombre entier, si a e^ b sont premiers entre eux.
