CHAPITRE XXIII

89S. On a VU, précédemment, comment on peut déterminer les racines commensu râbles d'une équation à coeflîcients rationnels, et comment la résolution d'une équation qui a des racines égales peut être ramenée à la résolution d'équations plus simples. Nous supposerons donc, dans ce qui va suivre, que l'équation donnée n'a aucune racine

eommensurable, ni aucune racine multiple : les racines de celle équation seront donc, ou incommensurables , ou imaginaires; mais nous ne nous occuperons pas de ces dernières.

La recherche des racines incommensurables d*une équa« tion f(x)=0 se décompose en deux parties : 1* la séparation des racines^ 2" le caktU des racines,

fléparatl^M 4ea racines.

S74. Les racines sont dites séparées^ quand chacune d'elles est comprise entre deux quantités connues, qui n'en comprennent aucune autre.

Pour essayer d'effectuer celle séparation, on peut d'abord procéder comme il suit :

Ayant déterminé une limite inférieure et une limite supérieure des racines, on substitue, dans /"(x), les quantités entières comprises entre ces deux limites (*), et Ion compte le nombre des variations de signes que présente la suite formée par les résultats de ces substitutions. 5't7 arrive que ce nombre soit égal à la limite supérieure du nombre des racines réelles, donnée par le Théorème de Descaries, les racines seront séparées.

Soit, par exemple,

Par la Règle des signes, on reconnaît que cette équation n a aucune racine négative, et qu>//e peut avoir deux racines positives. D'ailleurs, + 2 est une limite supérieure des

(*) Quand ces limiles sool forl écarlées, le nombre des sobsliluUoDs inutfles peut devenir très-grand. Pour abréger, on se contente, ao moins

dans un premier essai, de substituer — 100, — 10, *-l, 0, -t-^

-hiO,-*-iOO,.., après quoi Ton resserre les intervalles.

racines; et, si Ton désigne par y le premier membre, on

trouve I pour

La suite des valeurs de y présentant deux variations , les racines sont séparées : Tune est comprise entre 0 et 1, I auU'e entre 1 et 2.

S7ft. II est très-rare que le procédé dont nous venons de faire une application permette d'effectuer la séparation des racines d'une équation donnée. Dans la plupart des cas, le nombre des variations que présente la suite des valeurs Aef(x)f est inférieur à la limite du nombre des racines, donnée par le Théorème de Descartes. Il est vrai que si Ion attribue à x des valeurs en progression, dont la diffé* renée constante soit d'abord 0 J , puis 0^01 , puis 0^001 , etc., la probabilité que les racines flniront par se séparer augmente à chaque sérte de stAstitutions. Mais, d'une part, les calculs auxquels on serait conduit ainsi peuvent devenir fort prolixes; et, d'un autre côté, si l'équation a des racines imaginaires dont l'existence n'ait pas été indiquée par le Théorème de Descartes; ces calculs, qu'il n'y a aucune raison de ne pas continuer indéfinimenty auront été effectués en pure perte (*). Nous expliquerons, bientôt, un moyen plus expéditif et plus sur d'opérer la séparation des racines.

Calenl de* raclnr**

nu. Méthode de Newton. — Supposons que, par un procédé quelconque, ont ait trouvé une valeur approchée a

(*) Le Théorème de Slarm ii*a pas les iDConvénients de ce procétié vague, appelé quelquefois méthode des substitutions, puisqu*il indique, à claque insianl, /« nombre et le lieu des racines réelles.

d'une racine réelle deTéquation f(x)^=0. Désignons par a cette racine, et par h la correction , positive ou négative, que Ton doit faire subir à a pour obtenir a. Nous aurons

c'est-à-dire

a = a-4-Ay /'(a-*-A) = 0,

A«) +*/•'(«) -4-—rw

m étant le degré de Téquation*

Cela posé, si la quantité h est suffisamment petite, les termes en A^, A^, ..., hT seront ordinairement très-petits par rapport aux deux premiers termes : la méthode de Newton consiste à négliger complètement ces puissances supérieures de A9 et à remplacer Téquation précédente par celle-ci :

d'où Ton conclut

rw

Telle est la formule de Newton.

117 9. Interprétation géométrique. — Soit AB un arc de

la courbe représentée par y=f(x), et soit R le point inconnu où elle coupe l'axe Ox : la distance OR représente la racine inconnue a.

Au point A 9 qui a pour abscisse la valeur approchée a =3 OC , menons la tangente AT. Dans le trian-

gle rectangle AGT,