CT
Cette valeur étant égale à celle de h y donnée par la formule (1), il s'ensuit que la méthode de Newton consiste à remplacer la courbe par sa tangente, au point dont l'abscisse esta.
Cette remarque fait voir que, dans certains cas, la méthode de Newton pourra être complètement fautive. Par exemple, si Tare AB a la forme indiquée ci-contre, et qu'on mène la tangente au point A, on s'éloigne de la racine, au lieu de s'en rapprocher.
S78. Rectification de la méthode de Newton. — Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que la séparation des racines a été opérée, en sorte que la racine inconnue a, dont on veut approcher, est comprise entre deux quantités données a, p, qui ne comprennent aucune autre racine deTéquation f(x) = 0. Nous admettrons, en outre, qu'il n existe, entre ces deux limites, aucune racine, soit de f(x)=0 (*), soit de f'(x) = 0. Ces diverses hypothèses peuvent être énoncées ainsi :
L'arc AB, dont les extrémités ont pour abscisses aet ^^ coupe une seule fois l'axe des abscisses; déplus, il ne contient ni point maximum {**^ ou minimum, ni point d'inflexion.
(*) Celte première condition n^est pas absolument indispensable au succès de la mélbode; mais, quand elle est TériGée, les calculs marchent plus rapidement.
(**) Point maximum, c'est-à-dire point dont Vordonnée est un maximum. On peut lire, dans le Calcul différentiel, la théorie des points din' flexion; quant à présent, nous nous contenterons de les définir par cette propriété : tfi chaque point dHnftexion dCune courbe, le coefficient angulaire de la tangente devient maximum ou minimum.
Cela posé : 1* appliquons la correction de Newton h celui des deux points donnés pour lequel la tangente tombe dans IHntérieur du triangle formé par la courbe, l'axe de$ abscisBes et l'ordonnée du point : Tinspection des quatre figures ci-dessous montre clairement que ce point A est celui dont
Fif. 1. Fig. 11.
Fig. 111.
Fig. IV.
l'abscisse a rend f(x) et f (x) de mime signe (*)• Nous au ronsOT = OC-*-CT, ou
rw
(*) Considérons, par exemple, la fig. 1. L*arc ÂB tOQrDaiit sa conrexité vers le haut, f" (x) est coostammenl négative, et la courbe est au-éif' MOUS de sa tangente. Donc la tangente au point B, dont Tordonnée esi positive, tomberait en dehors du triangle RBD. Au contraire, la tangente au point A, pour lequel Tordoonée est négative, est située dans le triangle CAR; etc.
RAONES INCOMMENSURABLES. S95
3^ Menons la corde ÂB : elle laisse d*un même côté Tare ARB, puisque celui-ci est convexe. Le point S, où ÂB coupe Taxe des abscisses, partage CD en deux segments proportionnels à AC, BD; donc
BD f(ô)
SD = CD— -~ = (3 — a)— --^^'-^ - .
BD -I- AC ^'^ ^ f(p) — f{a)
Conséquemmenty en désignant OS par P| :
Les formules (3), (3) résolvent la question proposée : en effet, le point-racine R est compris entre les points T, S, et ceux-<;i sont compris entre C et D.
II99. Limite de Verreur commise. — La racine inconnue a étant comprise entre a^ et Pi, la différence ^j — oli est une limite de Verreur à laquelle donne lieu la méthode de Newton. Or,
ou Pour simplifier cette expression, observons que
donc, en posant :
nous aurons
t94 ALGÈBRE.
