OU

ou enfin y à cause de

rw

II90. La formule (4) nous permet de résumer, dans les termes suivants , la marche à suivre pour approcher indéfiniment d^une racine a de Téquation f(x)=0, après que cette racine a été séparée :

Connaissant deux quantités a^ ^, entre lesquelles tombe la racine a, et qui ne comprennent atLcune racine, soit de f (x) = 0, soit de f" (x) = 0, on désignera par a celk de ces deux limites qui retid f(x) et f''(x) de même signe; et, pour avoir une valeur plus approchée ai, on emploiera ks formtdes

En désignant par s la différence positive ou négative (3 — a, c'est-à-dire l'approximation (*) de a, et par e^ l'approximation de a^fOna

e^ = ^ih-—- — . (C)

Cette formule, dans laquelle 9 (a) représente

(*) Approximation de a signifie ici : limite de Verreur commise en prenant a au lieu de a.

indique atissi à quel degré d'approximation on doit calittler h.

Opérant sur aj^ comme on a opéré sur a y on trouvera une valeur a^, encore plus approchée de la racine a; et ainsi de suite.

391. Application. — Nous allons faire usage de la méiliode précédente pour calculer la plus petite racine positive de réquation

On a vu (840) que cette racine est comprise entre 1,35 et 1,36. D'ailleurs, quand x varie entre ces limites, f{x)=Zx'^ — 7 reste constamment négative, et f"(x)=&x reste constamment positive: la méthode de Newton est donc applicable. En outre, la première limite 1 ,35, rendant /'(x) cl f (x) de même signe, nous prendrons a = 1,35, d'où résulte e = 0,01. Cela posé, /'(a) = 0,010 375; et Ton irouve :

Substituant dans les formules (A) et (C), nous aurons donc

Le premier facteur de e| esta peu près égal à -^j-^; l'autre t^st moindre que 3; donc £| < 0,000 2. Ce résultat montre qu'il suffit, dans ce premier calcul, de déterminer les trois premières décimales de la valeur de A : si l'on en calculait ([uatre, on ne serait pas sûr de la dernière. Effectuant, on trouve

puis at = i,ZMj f| = 0,000 18.

Ces valeurs donnent

Par suite :

hmS= 9

f, = 0,0001 8-^-—— <O.OO0003.

D'après eette nouvelle valeur, on doit évaluer h^ à moins de 0,000 01 : A, = 0,000 89; puis

On trouve, de la même manière :

fs = — ^ < 0,000000002,

As = 0,000 005 867, «5=» 1,356 895 867, n» 0,000000001;

C) Il est à peine besoin de faire observer que ces deniières quanlltés, au lieu d'être calculées direclement, pourraient se déduire des valeurs de /-(a), /*(«), etc.

Une nouvelle application des formules (A), (B), (C) ferait connaître les seize décimales qui suivent celles-ci; etc.

0épamll«M des raelBesy par la niélhade de lVewteB«

M9. La méthode de Newton y ou plutôt la construction de la courbe dont Tordonnée est f(x), permet, presque toujours, d'effectuer très-simplement la séparation des racines réelles de f(x)==0, ou de reconnaître que cette équaUon a des racines imaginaires, non indiquées par le Théorème de Descartes.

Remarquons d'abord que la véritable difficulté du problème se réduit, le plus souvent, à reconnaitre si detix quantités a, |3, gut, substiittées à x dans f (x), ont donné des résultats de même signe, comprennent entre elles deux racines de f (x) = 0 , OM n'en comprennent aucune.

Cela posé, si la première dérivée, r(x), ne changeait pas de signe entre x=a et x=P, f{x) serait constamment croissante ou constamment décroissante dans le même intervalle ; et, puisque f(a) et f(P) ont même signe, cette fonction ne pourrait s'annuler. Autrement dit, si l'éqtmtion r(x)=3 0 n'avait aucune racine entre a et (3, il en serait de même pour l'équation proposée, f(x) = 0.

Le cas où Téquation dérivée, /^(x)=0, n'aurait aucune racine entre a et p étant mis de côté, nous admettrons que cette équation a une seule racine comprise entre ces deux quantités : si elle en avait plus d'une, on remplacerait a et P par d'autres limites, plus resserrées.

Enfin, nous admettrons aussi que la seconde dérivée, /"(*)> conserve le même signe entre x==« et x=(3 : ceci revient à supposer que la courbe représentée par y =3 /"(x) est convexe entre les points ayant a, ^ pour abscisses.

S9S. Soient A» B ces deax points O; soit AMB ou ANB Tare qui les joint, et dont la forme est encore inconnue : il s'agit de savoir si cet arc coupe en deux points Taxe des abscisses, ou s'il ne le coupe pas.

Aux deux limites a, P, appliquons la formule de Newton, c'est-à-dire calculons les sous-tangentes CS, DT. En supposant, comme cela aurait lieu d'après la figure :

nous aurons, en considérant les valeurs absolues :

Or, si les tangentes AS, BT se croisent au-cfe««ti5 de Ox(^*), c'est-à-dire si la somme des sous-tangentes surpasse CD, Tare inconnu a la forme ANB; il ne coupe pas Taxe des abscisses, et l'équation f(x)=0 n'a aucune racine entre a et |3. Nous pouvons donc énoncer cette proposition :

Les quantités a, ^ satisfaisant aux conditions indiquées ci-dessus, si l'on a

ftp) m

l'équation f(x) = 0 n'a aucune racine entre a et p.

Quand la somme des sous-tangentes est moindre que CD c'est-à-dire lorsqu'on trouve

np) rw

{*) Sur la figure, on les a placés, pour fixer les idées, au-dessus de Taxe des abscisses; mais le raisounemeDt est Indépendant de celte hypothèse. {**) On devrait lire au-dessous, si f(a) et /(/3) éUient négatives.

on ne peut rien affirmer sur rexistenee ou la non-existence de deux racines entre a et P; mais, en prenant

opérant sur ces nouvelles limites comme sur les premières, et continuant de la même manière, on pourra presque tonjow8, après un très-petit nombre d'essais, reconnaître si les deux limites données ne comprennent aucune racine, ou si elles en comprennent deux : ajoutons que, dans ce dernier cas, on aura approché des deux racines à la fois, et que la substitution d*une quantité intermédiaire entre les limites ^«> ^n* auxquelles on se sera arrêté, permettra, presque toujours aussi , de séparer les deux racines.

Les exemples suivants montrent la simplicité et Tefficacité de cette méthode.

S84. Applications. — I. x*h-3x^ — 2x4-1=0.

/•'(x) = ix* -I- 6x ~ 2, -/*"(x) = 2x' -*- 1.

La première dérivée s'annule pour une valeur de x comprise entre 0 et j; la seconde dérivée est essentiellement positive: nous pouvons donc prendre a=0, (3=|. Or,

r(P) fia) 4 â'

Cette somme surpassant j, Véquation n^a pas de racines miles (*).

(*) Oq peut encore arriver à cette conclusion en observant que le trinôme 3a;* — 2â? 4- 1 est toujours positif.