CU--B

x'-hI

Par suite,

puis

40l(« Le procédé que nous venons d'indiquer est connu sous le nom de Méthode des coefficients indéterminés. Très-

nelle dans laquelle le dénominateur est du degré m, et le numérateur, d'un degré inférieur à m. Par exemple,

donc, réciproquement, celte dernière fraction est décomposable en fiactions simples.

5â-2 ALGEBRE.

commode qihind le dénominc')(eiir F (x) est du deuxième ou du troisième degré, il devient impraiieable dès que le nombre des fractions simples cherchées surpasse cinq ou six. En outre, cette méthode est incomplète, parce qu'elle ne prouve ni la possibilifé de la décomposition essayée^ ni V impossibilité de toute autre décomposition : en effet, rien ne démontre, a priori, que les inconnues A, B, ..., K, L seront finies et déterminées. Mais il est aisé de la modifier, de manière à la rendre simple et satisfaisante.

A cet effet, nous démontrerons d'abord la proposition suivante, dont les applications soiH nombreuses.

409. Théorème. — Deux polynômes <p(\) et à{\), du degré n, qui deviennent égaux pour n -f- 1 valeurs de x, sont identiques.

Soient

y (x) = AqX" -I- A,x"'* H- ••• -♦- A, |X -i- A„, ^(x)= cfoX" -t- ajx""* -*-•••-♦- a, iX -♦- a„

ces polynômes. S'ils n'étaient pas identiques, c'est-à-dire si l'on n'avait pas

Ao = cio, Ai = a|, ..., A„ = a„, l'équation

(Ao — ao)x" -t-(A, — aj)x'-* h h (A„ — a„) = 0,

dont le degré est inférieur à ?i -h 1, admettrait n -h 1 racines; ce qui est absurde (tSO).

408. Deuxième méthode. — Reprenons l'égalité (l)i après avoir multiplié les deux membres par F (x); nous aurons, en appelant F^ (x), FjCx), ..., F„ (x) les quotients de F(x) par x — a, x — 6, ..., x — / :

/•(x) = AF, (x) + BF, (x) -+- ... .+- LF^ (x). (2)

D'après le théorème précédent, les polynômes composant les deux membres de la nouvelle égalité sontiden-

FHACTIONS RATIONNELLES. 323

tiques, s'ils deviennent égaux pour m valeurs (Iex(*). Or,

si Ton suppose x=a, les polynômes F^(x), F5(x), ..., F„(x)

s'annulent, parce qu'ils contiennent le facteur x — a, et

l'égalité devient

fia) = AF. («).

Dès lors, les deux membres de l'ëgalifé (2) sont égaux pour x = a, si l'on prend

F. («) De mcme, l'hypothèse x = b conduit à

F.(fc)'

et ainsi do suite. Par conscqucnl, pour trouver le numérateur de la fraction -^^ correspondant à un facteur quelconque X — g rfe F (x), on divise F (x) par x — g ; ef , eii représentant par <p (x) le quotient, on remplace x par g dans

44KI. Remarques. — I. Il résulte, du théorème ci-dessus, que si l'on donne aux coeflîcients A, R, ..., L les valeurs

Fi(^0 F,f6) F„.(/)

déduites de cette règle, l'égalité (2) a lieu, quel que soit x. 11 en est de même, évidemment, pour l'égalité (1). Donc la décomposition proposée est possible.

II. La décomposition n'est possible que d'une seule manière. Admettons, pour un instant, que la fraction ^^^j soit décomposable en

(*) On ne doit pas oublier que le second membre est du degré m— t, et le premier, du degré m— \ au plus.

S2i ALGÈBRE.

un des dénominateurs x — a', x — b\ x — c', ..., au moins, différant de x— a, x— 6, x — c, ... : soit x— o' ce nouveau dénominateur. On aurait